Am o problema rezolvata pe care am reusit sa o inteleg, insa nu stiu cum influenteaza un aspect rezolvarea.

Mai concret, problema:
Fie G un grup abelian, H<G a.i. G/H este ciclic infinit. Sa se arate ca G este izomorf cu grupul produs H x G/H.

Rezolvare:
G/H ciclic => exista a in G a.i. G/H=<[a]>.
Cum ord(G/H) e infinit => pentru orice g in G/H exista un unic k natural a.i. g=[a]^k, adica exista un unic h in H a.i. g=ha^k.

Definim f:G->G/H, f(g)=Hg si p:G->H, p(g)=h.

Acum fie f1:G -> H x G/H, f1(g)=(p(g),f(g)), care se verifica usor ca este izomorfismul cautat.



Totul clar, dar cu ce influenteaza la acel pas faptul ca G/H e infinit?

In primul rand, propozitia colorata cu rosu de mai sus trebuie clarificata. Eu as zice asa:

pentru orice g in G exista un unic k natural a.i. [g]=[a]^k, adica exista un unic h in H a.i. g=ha^k.

Referitor la intrebare, atragem atentia asupra cuvantului 'unic'. Unicitatea s-ar pierde daca grupul G/H ar fi de ordin finit!!!!!

Aveti dreptate, in ceea ce priveste modificarile colorate.

Si scuze daca pun intrebari prostesti, dar de ce s-ar pierde unicitatea daca grupul ar fi infinit? Adica si eu ma gandeam ca acolo este de fapt influenta, dar nu vad concret cum se leaga infinitatea de unicitate.

Nu stiu daca dau exemple la obiect, dar ma gandeam la

, unde orice element are scriere unica, daca fixam un termen, adica, de exemplu, 3=1+x are solutie unica in

...hmm...

Sunt sigur ca nu inteleg de fapt despre ce este vorba, dar va impartaseam gandurile mele

[Citat] Aveti dreptate, in ceea ce priveste modificarile colorate. Si scuze daca pun intrebari prostesti, dar de ce s-ar pierde unicitatea daca grupul ar fi infinit? Adica si eu ma gandeam ca acolo este de fapt influenta, dar nu vad concret cum se leaga infinitatea de unicitate.

Daca grupul G/H ar fi de ordin finit, sa zicem egal cu d, cu notatiile din mesajele de mai sus, am avea

Prin urmare scrierea

NU ar mai fi unica! Adica, exista

astfel incat

: corect :