1) Fie H subgrup normal in G, ordH=n, [H:G]=m.
Daca (n,m)=1, demonstrati ca H e singurul subgrup de ordin n al lui G. (Am gasit o demonstratie folosind teorema 2 a izomorfismelor, dar nu am prins mare lucru. V-as ruga, daca se poate, sa nu faceti uz de ea)

2) Fie G un grup abelian finit. Demonstrati ca daca ordinul oricarui element diferit de unitate este p, un numar prim, atunci ordinul lui G este o putere a lui p.

3) Fie G grup finit, cu |G| divizibul cu p, prim. Atunci G contine un element de ordin p. (Cauchy) Am gasit o demonstratie cu actiuni pe multimi, dar nu mi-a fost foarte clara. Se poate altfel, sau macar explicata pe indelete, va rog?

4) Fie G un grup comutativ. Demonstrati ca G e simplu <=> G e finit si de ordin p, prim.



Multumesc.

[Citat] 1) Fie H subgrup normal in G, ordH=n, [H:G]=m. Daca (n,m)=1, demonstrati ca H e singurul subgrup de ordin n al lui G. (Am gasit o demonstratie folosind teorema 2 a izomorfismelor, dar nu am prins mare lucru. V-as ruga, daca se poate, sa nu faceti uz de ea)

Daca K este un subgrup de ordinul n, definim morfismul

Prima teorema de izomorfism are ca si consecinta faptul ca

Folosind ipoteza obtinem

, deci

, deci

, deci

. Nu sunt expert in domeniu, demonstratia la care te referi este in mod sigur mai directa.

[Citat] 2) Fie G un grup abelian finit. Demonstrati ca daca ordinul oricarui element diferit de unitate este p, un numar prim, atunci ordinul lui G este o putere a lui p.

Grupul G devine spatiu vectorial finit dimensional peste corpul

, deci este de ordinul

, unde d este dimensiunea sa.

[Citat] 3) Fie G grup finit, cu |G| divizibul cu p, prim. Atunci G contine un element de ordin p. (Cauchy) Am gasit o demonstratie cu actiuni pe multimi, dar nu mi-a fost foarte clara. Se poate altfel, sau macar explicata pe indelete, va rog?

Trebuie musai sa intelegi acea demonstratie!

[Citat] 4) Fie G un grup comutativ. Demonstrati ca G e simplu <=> G e finit si de ordin p, prim.

Reolvam numai implicatia directa.
Mai intai, daca grupul ar fi infinit, fiind simplu, ar coincide cu

, care nu e simplu. Deci grupul este finit. Daca, prin absurd, ordinul grupului nu este prim, scriem

cu

prim si

. Conform teoremei lui Cauchy (problema precedenta), grupul ar avea un subgrup de ordinul

, absurd. (este esentiala ipoteza de comutativitate)

Multumesc. Nu imi este foarte clara constructia spatiului vectorial G peste Z_p, dar mai studiez...


Multumesc din nou.

[Citat] Multumesc. Nu imi este foarte clara constructia spatiului vectorial G peste Z_p, dar mai studiez... Multumesc din nou.

Structura respectiva poate fi definita intr-un singur mod. Multiplicarea cu scalari din

se defineste prin

Faptul ca aceasta operatie este bine definita este echivalent cu ipoteza ca toate elementele nenule ale grupului sunt de ordinul

.

Mai clar acum

A, si legat de teorema Cauchy, am mai gasit si o demostratie care foloseste ecuatia de clasa a unui grup (cred ca asa se traduce "class equation"), pe care am inteles-o. Da, ecuatia de clasa se leaga de actiuni, insa gasisem initial 2 demonstratii:una care folosea numai actiuni si aceasta, care foloseste actiuni "tangential", adica numai in ecuatia de clasa.


Multumesc.