pentru ce valori ale lui a apartine lui R operatorul T(vectorul x)=(ax +y,x-y+2z,ax+az)^t este injectiv?
va multumesc anticipat

Sincer, nu inteleg acel ^t de la sfarsitul definitiei operatorului.

Daca era de fapt T(v)=(ax+y,x-y+2z,ax+az), unde x, y, z sunt coordonatele lui v in baza canonica, rezolvarile pot fi asa:

Metoda 1:
Aplicam definitia injectivitatii, pe componente:
T(v)=T(v'), daca si numai daca sunt egale pe componente, adica
ax+y=ax'+y' si x-y+2z=x'-y'+2z' si a(x+z)=a(x'+z'), de unde da usor ca v=v', pentru orice a. Deci T e injectiv pentru orice a.


Metoda 2:
Consider cunoscut rezultatul T e injectiv <=> KerT={0}, unde KerT={v | T(v)=0 }
La fel, pe componente, obtinem sistemul:
ax+y=0
x-y+2z=0
a(x+z)=0, care se poate vedea ca are solutia unica x=y=z=0, indiferent de a.
Deci intr-adevar KerT={0}, deci T e injectiv pentru orice a.


Observatie1: Daca nu e asa problema, la enunt poti sa ignori rezolvarea si imi cer scuze ca am ocupat locul degeaba.
Observatie2: Cred ca se poate generaliza ca un operator este injectiv, atunci cand este liniar...
Observatie3:Demonstratia la rezultatul folosit la metoda 2 e oarecum elementar, se folosesc doar definitiile injectivitatii si nucleului.

[Citat] Sincer, nu inteleg acel ^t de la sfarsitul definitiei operatorului. Daca era de fapt T(v)=(ax+y,x-y+2z,ax+az), unde x, y, z sunt coordonatele lui v in baza canonica, rezolvarile pot fi asa: Metoda 1: Aplicam definitia injectivitatii, pe componente: T(v)=T(v'), daca si numai daca sunt egale pe componente, adica ax+y=ax'+y' si x-y+2z=x'-y'+2z' si a(x+z)=a(x'+z'), de unde da usor ca v=v', pentru orice a. Deci T e injectiv pentru orice a. Metoda 2: Consider cunoscut rezultatul T e injectiv <=> KerT={0}, unde KerT={v | T(v)=0 } La fel, pe componente, obtinem sistemul: ax+y=0 x-y+2z=0 a(x+z)=0, care se poate vedea ca are solutia unica x=y=z=0, indiferent de a. Deci intr-adevar KerT={0}, deci T e injectiv pentru orice a. Observatie1: Daca nu e asa problema, la enunt poti sa ignori rezolvarea si imi cer scuze ca am ocupat locul degeaba. Observatie2: Cred ca se poate generaliza ca un operator este injectiv, atunci cand este liniar... Observatie3:Demonstratia la rezultatul folosit la metoda 2 e oarecum elementar, se folosesc doar definitiile injectivitatii si nucleului.

acolo nu e t(v) ci T pe langa vectorul x,pur si simplinu pot pune sageata deasupra la x,oricum multumesc

E acelasi lucru, din cate stiu eu...Exista autori care noteaza operatorii ca pe functii, respectiv T(v) inseamna operatorul T aplicat vectorului v, iar altii scriu pur si simplu Tv, dar se refera la acelasi lucru.


Sper ca am inteles ce ai vrut sa spui si rezolvarea a fost cat de cat utila.

[Citat] E acelasi lucru, din cate stiu eu...Exista autori care noteaza operatorii ca pe functii, respectiv T(v) inseamna operatorul T aplicat vectorului v, iar altii scriu pur si simplu Tv, dar se refera la acelasi lucru. Sper ca am inteles ce ai vrut sa spui si rezolvarea a fost cat de cat utila.

multumesc

Cu placere.