Fie B: vectorii b1=1; b2=1+t;b3=1+t+t^2 o baza in P<=2(t).Sa se arate ca vectorii (x,y)=3x1y1+x2y2+x3y3, unde xi,yi sunt coordonatele vectorilor x si y in baza B si defineste un produs scalar in P<=2(t).Sa se calculeze: a)(1+t;1+t)-in baza B
b)(1;1+t+t^2)in baza B c)(2t-t^2;4+t-3t)in baza b d)(3-t^2;2+4t+6t^2)in baza B.
va multumesc anticipat

Cred ca prin P<=2(t) te referi la spatiul real al polinoamelor de grad maxim 2 in variabila t (eu il voi nota cu R2[t])

Mai intai, pentru a demonstra ca (x,y)=x1y1+x2y2+x3y3 este un produs scalar, trebuie doar sa verificam axiomele produsului scalar, adica

a) (x,y)=(y,x), fara conjugat, datorita faptului ca ne aflam in R, lucru care este evident, datorita comutativitatii adunarii si inmultirii

b) (x+y,z)=(x,z)+(y,z), iarasi, evident, e suficient sa inlocuim cu definitia si verificarea este imediata

c) (x,x)>0, pentru ca de fapt (x,x) este suma patratelor coordonatelor lui x in baza B, iar (x,x)=0 daca si numai daca x=0, clar din nou.


Acum, sa vedem cum scriem vectorii in baza B.

Sper sa nu te superi, dar rezolv doar ultimul subpunct.

Avem:

u=3-t^2= 3*1 +(-1)(1+t)+ 1*(1+t+t^2), deci u1=3,u2=-1,u3=1
v=2+4t+6t^2= -2*1 + (-2)*(1+t) + 6(1+t+t^2), deci v1=-2,v2=-2,v3=6

(u,v)=u1v1 + u2v2 + u3v3 = 2.


Observatie: Daca vrei sa treci din baza canonica B'={1,t,t^2} in baza B, facem asa:

f=a+ bt+ ct^2
=x+ y(1+t)+ z(1+t+t^2)
care trebuie sa dea acelasi lucru, deci, egaland membru cu membru avem:
a=x+y+z
b=y+z
c=z, de unde corespondenta inversa da:
x=a-b
y=b-c
z=c.

Asta daca vrei sa faci legatura intre scrierea in baza canonica B' si cea in baza B. Poti sa folosesti, eventual, pentru produsul scalar, ca sa faci legatura intre cel scris in baza B si cel in baza B'.

Sper sa nu te incurc mai tare..

va multumesc mult

Cu placere Dar fara formalisme, ca sunt doar student in anul I