1)Fie A=C([0,1]) algebra Banach comutativa a functiilor continue pe [0,1]. Pentru f apartine C([0,1]) ce este spectrul sigma(f)? Justificati.
2) Fie spatiul Hilbert H=C^2 si T apartine B(H). Sa se arate ca spectrul lui T consta din valorile proprii ale lui T.
3) Care este legatura intre functii crescatoare f:[0,1]->R si masuri boreliene pozitive pe [0,1]?

[Citat] 1)Fie A=C([0,1]) algebra Banach comutativa a functiilor continue pe [0,1]. Pentru f apartine C([0,1]) ce este spectrul sigma(f)? Justificati.

Functia continua

admite o inversa (fata de inmultirea din algebra respectiva) daca si numai daca

De aici rezulta imediat

[Citat] 2) Fie spatiul Hilbert H=C^2 si T apartine B(H). Sa se arate ca spectrul lui T consta din valorile proprii ale lui T.

Deoarece H este finit dimensional, pentru orice

avem

[Citat] 3) Care este legatura intre functii crescatoare f:[0,1]->R si masuri boreliene pozitive pe [0,1]?

Pentru functie crescatoare cu proprietatea ca

putem defini o masura Boreliana prin

Reciproc, data fiind o masura Boreliana (notata cu m), functia

este crescatoare si verifica

...