OK, revin cu 3 teoreme ale izomorfismelor de grupuri, pe care nu stiu sa le demonstrez, partial sau in intregime. Le-am intalnit in cartea Modern Algebra With Applications - Gilbert, Nicholson, pag. 102 (2nd Ed.)

1) Fie f:G->H un morfism de grupuri si K = Kerf.
Atunci grupul factor G/K este izomorf cu Imf prin
p:G/K->Imf, p(Kg)=f(g).

Tentativa de demonstratie:
-p e morfism, pentru ca p(Kg1Kg2)=p(Kg1g2)=f(g1g2)=f(g1)f(g2) (f e morfism)
-Imp=Imf (datorita definitiei functiei p) => p e surjectiva.

La injectivitate, avem asa: p e inj <=> Kerp={e}. In acest caz, e=e(G/K)=K.
Evident p(K)=p(Ke)=f(e)=e (am notat cu e diverse elemente neutre, sper sa nu fie ambiguitate).

Dar de unde stim sigur ca un alt element, de forma Kg nu e in Kerp? Daca ar fi, inseamna ca Kerf={e,g}, cel putin, deci f nu e injectiva. Si ce daca? Deci cum demonstram ca p e injectiva? Chiar si o abordare cu definitia functiilor injective ma duce tot la p inj<=>f inj...


2)Fie N subgrup normal al lui G si H un subgrup arbitrar al lui G. Atunci:
a)H intersectat cu N este subgrup normal in H
b)Grupul factor H/(H intersectat cu N) este izomorf cu HN/N.
(daca ajuta, am demonstrat ca HN este subgrup al lui G)


3)Fie M si N doua subgrupuri normale ale grupului G, dar astfel incat N este subgrup normal al lui M. Atunci:
a) f:G/N->G/M, f(Ng)=Mg este un morfism bine definit;
b) (G/N)/(M/N) este izomorf cu G/M.



Imi cer scuze daca posturile mele destul de stufoase sunt considerate un abuz la bunavointa rezolvitorilor forumisti. Sincer, abia m-am familiarizat cu notiunile de grup factor si subgrup normal si inca nu le manipulez prea abil...


Multumesc.

Am rezolvat, intre timp, pe toate 3

Rog pe cei interesati sa-mi dea un mesaj privat. Propun insa alte 2 probleme pe care nici nu stiu de unde sa le "apuc"...


1) Demonstrati ca daca intr-un grup G, H este singurul subgrup cu un anumit ordin dat, atunci H e normal in G.

2) Demonstrati ca grupul Q/Z este infinit, dar orice element al sau are ordin finit.

[Citat] Am rezolvat, intre timp, pe toate 3 Rog pe cei interesati sa-mi dea un mesaj privat. Propun insa alte 2 probleme pe care nici nu stiu de unde sa le "apuc"... 1) Demonstrati ca daca intr-un grup G, H este singurul subgrup cu un anumit ordin dat, atunci H e normal in G.

Daca

este un element arbitrar, atunci

este un subgrup izomorf cu

. In particular, conform ipotezei rezulta

, q.e.d.

[Citat] 2) Demonstrati ca grupul Q/Z este infinit, dar orice element al sau are ordin finit.

Clasele de echivalenta ale elementelor

sunt distincte, deoarece diferenta dintre oricare doua dintre aceste numere NU este numar intreg. De asemenea, un numar rational scris sub forma

are ordin finit in

, fiind divizor al numitorului...

Multumesc foarte mult!

Se pare ca pentru moment uitasem ca operatia in Q/Z este de adunare... :