OK, sa prezint motivatia mai intai Sunt student la Fizica, dar sunt interesat de teoria grupurilor, geometria algebrica si teoria algebrica a numerelor. (Nu intrebati, va rog, de ce nu ma mut la Matematica) Asadar, am pornit pe drumul studiului individual cu teoria grupurilor, la nivel elementar.

In consecinta, apelez la bunavointa dumneavoastra de a imi clarifica anumite notiuni legate de acest subiect, pentru ca, bineinteles, imi este mult mai usor sa studiez utilizand anumite metode interactive, cum ar fi acest forum.

Intrebari/probleme:

1)Am inteles ca indicele unui subgrup H al lui G inseamna cardinalul multimilor de forma xH, cu x din G, respectiv Hx. Mai mult, aceste multimi au acelasi cardinal. Intrebari: de ce au acelasi cardinal Hx si xH? Exemplificati, va rog, subgrupuri cu indicii aferenti

2) Sa se demonstreze ca un subgrup de indice 2 al unui grup este subgrup normal al acestui grup.

3) Notam prin C(G)={x din G | ax=xa, pentru orice a din G}, centrul grupului G. Demonstrati ca orice subgrup al C(G) este subgrup normal in G.

4) Fie G un grup ableian finit, in care orice element are ordinul p, un numar prim. Demonstrati ca ordG este o putere a lui p. Reciproc, daca G este un p-grup, rezulta ca orice element are ordinul p?

5) Demonstrati ca daca ordG=p^2, p>1 prim, atunci G e abelian.

6) Fie G un grup ciclic, abelian, finit, de ordin n, G=<x>. Demonstrati ca pentru orice numar natural m>0, cu m|n => exista H subgrup al lui G, ciclic, a.i. ordH=m.

Multumesc foarte mult si scuze daca nu trebuia sa inghesui atatea intr-un singur mesaj.

La multi ani si Craciun fericit!

2) Definitie: Un subgrup H al unui grup G s.n subgrup normal al lui G daca este satisfacuta una din afirmatiile propozitiei urmatoare.
Propozitie: Fie G un grup si H un subgrup al lui G. U.a.s.e
a) pt orice x apartine lui G avem xHx^-1 includ H
b) pt orice x apartine lui G avem xH=Hx
c) ( G/H)s= ( G/H)d ( indice s, indice d)

Demonstratie la 2) Avem H=1H apartine(G/H)s si deoarece |(G/H)s|=|G:H|=2 rezulta (G/H)s={ H,G-H }.
De asemenea H=H1 apartine(G/H)d si deoarece |(G/H)d|=|G:H|=2 rezulta (G/H)d= { H,G-H }.
Prin urmare ( G/H)s=(G/H)d si conform definitie si propozitie precedente rezulta ca H este subgrup normal in G.

5) Conform punctului 3) avem C(G) diferit de 1 si |C(G)| | |G|=p^2, rezulta |C(G)|=p sau |C(G)|= p^2.
Nu putem avea insa |C(G)|=p, deoarece in acest caz |G/C(G)|=p^2/p=p, deci grupul factor G/C(G) este ciclic ( aceasta rezulta de exemplu din faptul ca orice grup de ordin prim p este, conform teoremei lui Lagrange, grup simplu); si conform propozitiei Fie N un subgrup central al unui grup G. Au loc urm afirmatii:
1) N subgrup normal al lui G
2) daca G/N este ciclic, atunci G este abelian
Deci rezulta ca G abelian, deci Z(G)=G, ceea ce nu se poate.
Prin urmare singura posbilitate este |C(G)|=p^2=|G|,deci |G/C(G)|=1, de unde rezulta ca C(G)=G. deci grup abelian.

Pare ok si multumesc foarte mult. Dar din pacate, in ceea ce ma priveste pe mine, intrebarea 1) era esentiala pentru urmatoarele. Asadar, v-as ruga, d. Kolmogorov, sa-mi lamuriti prin exemple ce inseamna indicele unui subgrup intr-un grup si ce inseamna un grup de forma Q/Z (de exemplu) sau, in general, cum ati mai scris dumneavoastra G/H, Z/nZ etc. Multumesc.

Update:

Cred ca am inteles pana la urma notiunile de grup factor si de indice al unui subgrup intr-un grup. Va rog, corectati-ma daca gresesc:

- Daca (G,*) este un grup si H este un subgrup normal al sau, atunci
G/H={ g*h | g in G, h in H}, de exemplu Q/Z={q+z | q in Q si z in Z}. Aici am vazut ca este natural sa consideram pe q subunitar, ca si in cazul R/Z.

- Indicele unui subgrup H al unui grup (G,*) este cardinalul multimii
{g*h | g in G, h in H}, care este egal cu cardinalul {h*g | la fel }

Cred ca e o problema aici...mie imi apare ca ultimul raspuns este al domnului Enescu, in pagina principala a Cereri de probleme, dar daca deschid subiectul nu apar decat cele 4 (si cu acesta 5) ale mele si ale d. Kolmogorov. Hmmm...

[Citat] Cred ca e o problema aici...mie imi apare ca ultimul raspuns este al domnului Enescu, in pagina principala a Cereri de probleme, dar daca deschid subiectul nu apar decat cele 4 (si cu acesta 5) ale mele si ale d. Kolmogorov. Hmmm...

Probabil unul dintre moderatori a sters unul dintre raspunsuri. Acel 'counter' nu este perfect. Vom remedia aceasta situatie, insa nu este foarte sus pe lista noastra de prioritati.

E normal sa nu fie si e bine ca e asa. Ma gandeam sa nu fie vreo problema la mine in calculator si daca altcuiva ii aparea presupusul existent mesaj al d. Enescu, poate mi-l retransmitea, de aceea am simtit nevoia sa atrag atentia asupra acelei imperfectiuni. Nicio problema.