Sa se arate ca f:[0;2]->R, f(x)=2x-[2x]este continua pe portiuni si sa se calculeze integrala pe [0;2]

Poti sa o iei asa:
Pentru x din [0,1/2), [2x]=0 => f(x)=2x
pentru x din [1/2,1), [2x]=1 => f(x)=2x-1
pentru x din [1,3/2), [2x]=2 => f(x)=2x-2
pentru x din (3/2,2), [2x]=3 => f(x)=2x-3
pentru x=2 => f(x)=2x-4.

Scrii, in urma acestei discutii, definitia functiei cu acolada si cred ca se impune sa pui conditia de continuitate (aia din defintie, cu limita) in punctele de "unire" a intervalelor.

Si o sa iti dea ca nu e continua in acele puncte(pentru ca, de exemplu, pentru x->1, f(x)->1, dar valoarea functiei este 0; asta pentru ca la limita iei expresia de la intervalul deschis, iar la valoarea exacta o iei pe cea de la interval inchis).

Dar in mod evident e continua pe tot cuprinsul intervalelor (exceptand, deci, capetele).

Si poti sa calculezi integrala, chiar si asa, ca era o teorema conform careia daca o functie difera intr-un numar finit de puncte de una integrabila, atunci si functia in cauza e integrabila si integralele vor fi egale.

Atunci integrala de la 0 la 2 o desparti in 4 integrale, conform discutiei pentru functie, fiecare cu expresia ei.


(Parerea mea neavizata )