f(x)= { x la alfa ori sin 1/x x diferit de 0
0, x=0
sa se arate ca daca alfa < 0 functia f nu are limita in x=0,iar daca alfa>0 functia f are limita in x=0

O sa dau un raspuns nu tocmai stiintific, sigur voi fi criticat pt el

Daca alfa<0, atunci functia, pt x diferit de zero, va fi de forma sinx/x^|alfa|, care, cand x tinde la zero, e ceva fara limita supra ceva infinit, care nu are limita. (gandeste-te la oscilatiile sinusoidei amplificate de o infinitate de ori, evident nu vor tinde catre o valoare exacta).

Daca alfa > 0, atunci ai (ceva care tinde la zero)*sinx, care tinde la zero, sinus fiind marginita.

Riguros, ultima afirmatie se poate justifica asa: Notez cu y pe x la alfa si am
limita cand y->0 din ysinx.
Avem, cu un criteri de tip cleste:
0 <= |ysinx| <= |y|, deoarece |sinx|<=1, atunci, conform unui criteriu tip cleste, ysinx -> 0.

Pe mine atat m-a dus capul acum, sper sa te ajute.

[Citat] f(x)= { x la alfa ori sin 1/x x diferit de 0 0, x=0 sa se arate ca daca alfa < 0 functia f nu are limita in x=0,iar daca alfa>0 functia f are limita in x=0

O prima observatie: functia nu prea este definita bine. Cum nu ni se spune nimic despre natura lui

banuim ca este real. Atunci pentru valori negative ale lui x, expresia

poate sa nu fie definita (ganditi-va la exemplul x=-1 si

care ar conduce la

). O modificare minora a enuntului care nu schimba problema ar fi:

Fie

si functia

. Demonstrati ca f are limita in x=0 daca si numai daca

.

Pentru

, putem intr-adevar folosi criteriul clestelui (vedeti mesajul precedent al lui AdiM) si trecand la limita in inegalitatea

obtinem ca

Pentru

este suficient sa consideram sirurile

si

. Atunci

pentru orice n, deci converge la 0, in timp ce

converge la infinit pentru

sau la 1 pentru

.

nu am invatat criteriul clestelui.. exercitiul e limite laterale..cum pot altfel sa`l rezolv?

[Citat] nu am invatat criteriul clestelui.. exercitiul e limite laterale..cum pot altfel sa`l rezolv?

Pentru siruri ati invatat ca produsul dintre un sir cu limita 0 si unul marginit are tot limita 0. Pentru orice sir

, avem

deci

converge la 0.