Teorema e simpla, suna asa:

Fie U si V spatii vectoriale finit dimensionale.
Sa se demonstreze ca sunt izomorfe <=> au aceeasi dimensiune.

Partea "=>" mi s-a parut mai accesibila. Spun "Fie A:U->V izomorfismul. Conform unei leme pe care am demonstrat-o la curs, izomorfismul, pe finit dimensional, transporta bazele, adica A(baza lui U)=baza lui V. Si cum A e bijectiva, rezulta ca bazele vor avea acelasi cardinal, deci spatiile, aceeasi dimensiune."

Cred ca e bine, dar reciproc?

[Citat] Teorema e simpla, suna asa: Fie U si V spatii vectoriale finit dimensionale. Sa se demonstreze ca sunt izomorfe <=> au aceeasi dimensiune. Partea "=>" mi s-a parut mai accesibila. Spun "Fie A:U->V izomorfismul. Conform unei leme pe care am demonstrat-o la curs, izomorfismul, pe finit dimensional, transporta bazele, adica A(baza lui U)=baza lui V. Si cum A e bijectiva, rezulta ca bazele vor avea acelasi cardinal, deci spatiile, aceeasi dimensiune." Cred ca e bine, dar reciproc?

Partea aceasta este intr-adevar gandita bine.

Pentru reciproca, fie n dimensiunea comuna a celor doua spatii si

o baza a lui U, iar

o baza a lui V. Definim

, facand asocierea bazelor

si apoi extinzand la intregul spatiu U. Aceasta aplicatie este liniara si bijectiva, deci este chiar izomorfismul dorit.

Cum adica extinzand la intreg spatiul? La asocierea aceasta m-am gandit si eu, insa cum definim exact aplicatia pentru intreg spatiul?...

[Citat] Cum adica extinzand la intreg spatiul? La asocierea aceasta m-am gandit si eu, insa cum definim exact aplicatia pentru intreg spatiul?...

Pentru orice

exista un n-uplu unic de numere reale

astfel incat

. Definim

. Se demonstreaza destul de usor ca aceasta functie este liniara si bijectiva.

Da, corect. Folosim faptul orice vector din spatiu poate fi scris ca o combinatie liniara a vectorilor din baza cu scalari.

OK, multumesc.