Se da un trapez ABCD, se noteaza cu O intersectia diagonalelor si cu M si N mijloacele laturilor neparalele. Sa se arate ca daca diagonalele sunt perpendiculare atunci aria triunghiului OMN este jumatate din aria lui ABCD.
Reciproc este adevarat?

Nu reusesc sa o rezolv, va rog sa ma ajutati.

[Citat] Se da un trapez ABCD, se noteaza cu O intersectia diagonalelor si cu M si N mijloacele laturilor neparalele. Sa se arate ca daca diagonalele sunt perpendiculare atunci aria triunghiului OMN este jumatate din aria lui ABCD. Reciproc este adevarat? Nu reusesc sa o rezolv, va rog sa ma ajutati.

Problema este 100% falsa. Daca degenerezi trapezul intr-un romb, aria triunghiului este ZERO (punctele O,M,N sunt colineare).

Nu intelg de ce sa degenerezi trapezul intr-un romb.
Oricum problema mai avea un subpunct inainte de acesta, cerea sa se arate ca O nu apartine segmentului MN, tocmai ca sa se vada ca exista triunghiul OMN cred.

Eu m-am gandit asa:
Aria OMN= h(din O)*MN/2
Aria trapez=h trapez *MN
Daca ar fi ca aria OMN=1/2 aria ABCD, ar rezulta ca h(din O)=h trapez, ceea ce nu prea se poate, nu?

[Citat] Nu intelg de ce sa degenerezi trapezul intr-un romb.

Daca am avea cazul particular al unui trapez care este chiar romb enuntul ar trebui sa fie tot adevarat. Or nu este! Faceti figura si convingeti-va.

Mi se pare ciudat sa spunem ca rombul este un caz particular de trapez (noi am invatat ca trapezul este patrulaterul convex cu 2 laturi opuse paralele si celelalte 2 neparalele).
Oricum, eu scrisesem problema gresit.
Era vorba de perimetre acolo, nu de arii (perimetrul triunghiului OMN este jumatate din perimetrul trapezului), iar cu perimetrul a iesit.
Imi cer scuze pt greseala.

[Citat] Mi se pare ciudat sa spunem ca rombul este un caz particular de trapez (noi am invatat ca trapezul este patrulaterul convex cu 2 laturi opuse paralele si celelalte 2 neparalele).

Sa zicem ca avem un patrulater ABCD cu laturile AB si CD paralele. Sa ne imaginam ca punctele A, B, C sunt fixe dar D se misca liber pe o dreapta paralela la AB. Evident, conform definitiei pe care ai invatat-o, patrulaterul ABCD este trapez, cu exceptia unui singur punct, in care caz patrulaterul devine paralelogram.

Sa mai presupunem ca am reusit sa demonstram propozitia din enuntul tau in toate cazurile in care patrulaterul este trapez. Noi zicem ca propozitia este adevarata si in cazul ramas.

[Citat] Oricum, eu scrisesem problema gresit. Era vorba de perimetre acolo, nu de arii (perimetrul triunghiului OMN este jumatate din perimetrul trapezului), iar cu perimetrul a iesit. Imi cer scuze pt greseala.