Multumesc pentru raspunsurile de pana acum!
Am inca o mica nelamurire: o matrice la puterea 0 este cumva matricea unitate? - am nevoie de acest lucru la metoda inductiei matematice - la etapa de verificare cand nu stiu daca sa iau n=1 sau n=0 .
Multumesc mult!

[Citat] Multumesc pentru raspunsurile de pana acum! Am inca o mica nelamurire: o matrice la puterea 0 este cumva matricea unitate? - am nevoie de acest lucru la metoda inductiei matematice - la etapa de verificare cand nu stiu daca sa iau n=1 sau n=0 . Multumesc mult!

Aceasta este intr-adevar o conventie uzuala. Nu inteleg insa nelamurirea pe care o aveti: textul problemei pe care incercati sa o rezolvati ar trebui sa precizeze clar valoriule lui n pentru care trebuie sa faceti demonstratia.

[Citat] [Citat] Multumesc pentru raspunsurile de pana acum! Am inca o mica nelamurire: o matrice la puterea 0 este cumva matricea unitate? - am nevoie de acest lucru la metoda inductiei matematice - la etapa de verificare cand nu stiu daca sa iau n=1 sau n=0 . Multumesc mult! Aceasta este intr-adevar o conventie uzuala. Nu inteleg insa nelamurirea pe care o aveti: textul problemei pe care incercati sa o rezolvati ar trebui sa precizeze clar valoriule lui n pentru care trebuie sa faceti demonstratia.

Da intr-adevar ar trebui sa precizeze valorile lui n, dar intr-o problema de genul:
'Sa se determine A^n pentru A= (o matrice) ' nu s-a precizat. In acest caz sa inteleg ca pot lua linistit atat n=0, cat si n=1 la etapa de verificare?
Problema nu e deloc grea insa acest lucru nu imi este foarte clar.
Multumesc mult pt. raspuns!

[Citat] Aceasta este intr-adevar o conventie uzuala. Nu inteleg insa nelamurirea pe care o aveti: textul problemei pe care incercati sa o rezolvati ar trebui sa precizeze clar valoriule lui n pentru care trebuie sa faceti demonstratia.

Da intr-adevar ar trebui sa precizeze valorile lui n, dar intr-o problema de genul:
'Sa se determine A^n pentru A= (o matrice) ' nu s-a precizat. In acest caz sa inteleg ca pot lua linistit atat n=0, cat si n=1 la etapa de verificare?
Problema nu e deloc grea insa acest lucru nu imi este foarte clar.
Multumesc mult pt. raspuns!

Pentru n=0 avem A^0=I (conventie!), deci acest caz nu are rost sa-l consideri. In mod normal trebuie verificat cazul n=1.

[Citat] Pentru n=0 avem A^0=I (conventie!), deci acest caz nu are rost sa-l consideri. In mod normal trebuie verificat cazul n=1.

Am inteles! Multumesc mult de tot!

Scriu tot aici pentru ca e tot legat de matrici si ca sa nu mai incep un subiect nou.

Avem o matrice 4x4. Ni se cere sa determinam rangul acestei matrice. Stiind ca rangul este cel putin 2, pentru a putea spune daca rangul e 3 va trebui sa calculam 9 determinanti de ordinul 3? (mi se pare normal sa calculam 9 - ca atatia se pot forma - dar intrebarea mea este pt. a-mi lamuri o dilema deoarece intr-o carte s-au calculat doar 3 - toti fiind egali cu 0 si s-a spus ca rangul e 3 - decizia nu a fost luata cumva pe graba ?)


Matricea concreta este:

2 3 -1 1
1 -1 2 -2
3 1 2 -2
-3 -1 -2 2

Multumesc!

Matricea de mai sus scrisa in latex:

[Citat] Scriu tot aici pentru ca e tot legat de matrici si ca sa nu mai incep un subiect nou. Avem o matrice 4x4. Ni se cere sa determinam rangul acestei matrice. Stiind ca rangul este cel putin 2, pentru a putea spune daca rangul e 3 va trebui sa calculam 9 determinanti de ordinul 3? (mi se pare normal sa calculam 9 - ca atatia se pot forma - dar intrebarea mea este pt. a-mi lamuri o dilema deoarece intr-o carte s-au calculat doar 3 - toti fiind egali cu 0 si s-a spus ca rangul e 3 - decizia nu a fost luata cumva pe graba ?) Matricea concreta este: 2 3 -1 1 1 -1 2 -2 3 1 2 -2 -3 -1 -2 2 Multumesc!

Nu suntem siguri ca intelegem intrebarea (care sunt cei 9 determinanti?), avand in vedere ca intr-o matrice 4x4 exista exact 2x2=4 determinanti ce se pot forma "in jurul" unei matrici 2x2.

Daca matricea (presupusa de rang r) contine o submatrice patratica inversabila A, exista o matrice patratica de rang r formata "in jurul" lui A.

[Citat] Nu suntem siguri ca intelegem intrebarea (care sunt cei 9 determinanti?), avand in vedere ca intr-o matrice 4x4 exista exact 2x2=4 determinanti ce se pot forma "in jurul" unei matrici 2x2. Daca matricea (presupusa de rang r) contine o submatrice patratica inversabila A, exista o matrice patratica de rang r formata "in jurul" lui A.

Initial am luat minorul de ordin 2 nenul:

Cei 4 determinanti care se pot forma in jurul acestui minor sunt:

si

Initial, si aici am gresit eu, am crezut ca determinantii de ordin 3 se pot forma nu doar "in jurul" minorului de ordin 2 ales nenul, ci oricum din matricea data (asa mi-au dat mie 9 la numar astfel de determinanti). Am gresit deci deoarece nu am tinut cont de minorul de ordinul doi.

Si totusi trebuie calculati toti acei 4 determinanti nu? in acea carte s-au calculat doar primii 3 determinanti dintre cei scrisi de mine mai sus, toti egali cu 0.


Pentru determinarea rangului unei matrici pornim intotdeauna de la minori de ordin mai mic spre minori de ordin mai mare (care ii formam prin bordare)?
Daca porneam de la minori de ordinul cel mai mare spre minori de ordin mai mic (in cazul nostru de la minori de ordin 3 spre minori de ordin2) trebuia sa calculam toti acei 9 minori de ordin 3 care se pot forma din matricea data?

Multumesc!

[Citat] [Citat] Nu suntem siguri ca intelegem intrebarea (care sunt cei 9 determinanti?), avand in vedere ca intr-o matrice 4x4 exista exact 2x2=4 determinanti ce se pot forma "in jurul" unei matrici 2x2. Daca matricea (presupusa de rang r) contine o submatrice patratica inversabila A, exista o matrice patratica de rang r formata "in jurul" lui A. Initial am luat minorul de ordin 2 nenul: Cei 4 determinanti care se pot forma in jurul acestui minor sunt: si Initial, si aici am gresit eu, am crezut ca determinantii de ordin 3 se pot forma nu doar "in jurul" minorului de ordin 2 ales nenul, ci oricum din matricea data (asa mi-au dat mie 9 la numar astfel de determinanti). Am gresit deci deoarece nu am tinut cont de minorul de ordinul doi. Si totusi trebuie calculati toti acei 4 determinanti nu? in acea carte s-au calculat doar primii 3 determinanti dintre cei scrisi de mine mai sus, toti egali cu 0.

Ai dreptate. Pe de alta parte, in cazul determinantului de mai sus, ultima linie poate fi ignorata, find opusul celei de a treia linii. Cu aceasta observatie, este suficient sa calculam 2 determinanti.

[Citat] Pentru determinarea rangului unei matrici pornim intotdeauna de la minori de ordin mai mic spre minori de ordin mai mare (care ii formam prin bordare)? Daca porneam de la minori de ordinul cel mai mare spre minori de ordin mai mic (in cazul nostru de la minori de ordin 3 spre minori de ordin2) trebuia sa calculam toti acei 9 minori de ordin 3 care se pot forma din matricea data? Multumesc!

Metoda standard (sau una dintre ele) este metoda pivotului (sau eliminare Gaussiana). In ceea ce priveste ultima intrebare, raspunsul este DA, trebuie calculati toti determinantii (foarte ineficient). In sfarsit, tot nu ampriceput de unde acei 9 determinanti. O matrice 4x4 are 16 minori de ordinul 3...

[Citat] tot nu am priceput de unde acei 9 determinanti

mi se pare si normal sa nu pricepeti pentru ca acei 9 determinanti erau doar in capul meu; de fapt 16 trebuia sa scriu in loc de 9; daca nu ziceati dvs. ca o matrice 4x4 are 16 minori de ordinul 3 eu ramaneam tot la ideea ca 9 sunt - desi da - sunt 16! Exista o formula care ne spune cati minori de un anumit ordin p putem forma dintr-o matrice patratica de dimensiune n ?

Si atunci daca porneam de la minori de ordinul cel mai mare spre minori de ordin mai mic trebuia sa calculam toti acesti 16 determinanti - ceea ce era fff ineficient.

Multumesc mult!
Respect pentru tot ceea ce faceti!