Se da un triunghi ascutitunghic ABC. Sa se stabileasca daca exista puncte M, N, P pe laturile triunghiului, astfel incat trABC si trMNP sa aiba acelasi ortocentru.

In cazul in care aveti o problema cu o posibila figura (plauzibila!!!), accesati http://www.geocities.com/costica562001/baza/ortocentruProDid.html
Numai bine,

Problema abunda in patrulatere inscriptibile, triunghiuri asemenea dreptunghice, etc. E frumoasa ca si surioara ei.

[Citat] Problema abunda in patrulatere inscriptibile, triunghiuri asemenea dreptunghice, etc. E frumoasa ca si surioara ei.

Exiata o infinitate de triunghiuri cu aceasta proprietate!
Numai bine,

Deci se cere pozitia punctelor M,N,P (sunt intr-o legatura) a.i. "H-centrele" celor 2 triunghiuri (ABC si MNP) sa coincida.

Ma gandesc deja la 2 variante:
1. Sa il consider pe M fix, N si P vor varia dupa o dreapta paralela cu ea insasi (translatie) a.i. NP perpendicular pe HM(R) (trebuie sa gasesc acea pozitie pentru care obtin perpendicularitatea si a celorlalte 2 segmente (toate concurente in H) pe celelalte 2 laturi ale triunghiului MNP).
2. Sa il consider pe N fix, M si P vor varia dupa o rotatie in jurul lui N a.i. NP perpendicular pe HM(R) (trebuie sa gasesc acea pozitie (unghiulara) pentru care obtin perpendicularitatea si a celorlalte 2 segmente (toate concurente in H) pe celelalte 2 laturi ale triunghiului MNP).

Sunt o infinitate de astfel de posibilitati dupa cum ati precizat (o pozitie unica pentru fiecare 1.M(,N,P); 2.N(,P,M) fix).

[Citat] .... 2. Sa il consider pe N fix, M si P vor varia dupa o rotatie in jurul lui N a.i. NP perpendicular pe HM(R) (trebuie sa gasesc acea pozitie (unghiulara) pentru care obtin perpendicularitatea si a celorlalte 2 segmente (toate concurente in H) pe celelalte 2 laturi ale triunghiului MNP). Sunt o infinitate de astfel de posibilitati dupa cum ati precizat (o pozitie unica pentru fiecare 1.M(,N,P); 2.N(,P,M) fix).

1. Ce-ar fi daca te-ai roti in jurul lui H (=ortocentru)?
Sa spunem ca am face o rotatie oarecare a trABC in jurul lui H; am obtine un trA'B'C' care are ortocentrul in H (dem!?). Ar urma sa facem in asa fel incat sa micsoram triunghiul obtinut astfel incat MACAR un varf sa ajunga pe o latura a trABC.
2. In aceste conditii, celelalte doua puncte ajung pe laturile ramase? Daca raspunsul este afirmativ, problema este rezolvata! Daca nu ....
3. Nu ai incercat o rezolvare analitica? (!?)
Numai bine,

Toate ideile sunt bune.
Nu stiu de ce am un fix cu metoda analitica. Geometric cred ca s-ar rezolva mult mai usor deoarece cum am scris mai sus exista o multitudine de patrulatere si triunghiuri in care putem aplica multe relatii metrice uzuale (ex.teorema catelor,teorema inaltimii, Pitagora,chiar si teorema lui Ceva,asemanari,relatii in patrulatere inscriptibile).
Pe metoda analitica trebuie aleasa solutia optima pentru a nu ne complica in ecuatii (cum am patit la problema analoaga).
Nu am gasit timpul necesar, dar cand am chiar si o rezolvare partiala o voi posta.
Concurenta inaltimilor o presupunem demonstrata (ea este cunoscuta).

Voi folosi putin alte notatii (fatza de figura dinamica), neafectand modul de rezolvare.

Daca

varfurile triunghiului ascutitunghic

,

picioarele inaltimilor din

pe laturile triunghiului

,

puncte situate pe laturile triunghiului

,

picioarele inaltimilor din

pe laturile triunghiului

,

ortocentrul triunghiurilor

si

(din rezolvare vor rezulta existenta triunghiului si ortocentrul acelasi pentru ambele triunghiuri),

fatza de un sistem de coordonate

a.i.

confundat cu

si

, coordonatele punctelor care intereseaza vor fi:

.

Ca sa aflam coordonata

a ortocentrului, intersectam dreptele BH cu AA', ecuatia dreptei BH (sau BB'-avand aceeasi panta) o determinam din conditia AC perpendicular BB'.

rezulta

Ecuatia dreptei BB' o aflam cunoscand un punct al sau (B) si panta ei:

, intersectata cu dreapta

rezulta

.

Consideram un punct oarecare

.
Rezulta ca exista o dreapta unica MM' (care trece prin H) (prin 2 puncte trece o singura dreapta si numai una) si exista o dreapta unica NP perpendiculara pe MM' in M' (daca ar exista o a doua dreapta "d'" presupusa diferita de "d" aceasta ar coincide cu "d").
Punem conditiile ca (acestea asigura H acelasi pentru ambele triunghiuri):

sa aiba aceeasi panta si

perpendicular

,

sa aiba aceeasi panta si

perpendicular

,

sa aiba aceeasi panta si

perpendicular

,

,

si obtinem un sistem de 5 ecuatii cu necunoscutele

:
1.

2.

3.

4.

5.

.

Cea mai usoara metoda de rezolvare e sa inlocuiesc pe

din 1,4,5 in 2 si 3 rezultand un sistem de 2 ecuatii cu 2 necunoscute (

), si apoi mai vedem...

Deoarece

, sistemul este echivalent cu:
1.

2.

3.

4.

5.

Pentru:

si

(aceasta conditie este indeplinita deoarece intotdeauna

) obtin:
Din 4,5 inlocuite in 1:

(1').
Din 1', 4, 5 inlocuite in 2 si 3 rezulta doua ecuatii identice:

.

Deci sistemul initial nu e liniar independent. Mai este nevoie de o relatie independenta intre coordonate (Nu stiu daca problema mai permite gasirea unei astfel de relatii). Sper sa mai fie una...

Am uitat sa pun conditia ca

sa apartina si inaltimii

, de aici ar rezulta inca o conditie (sper independenta) intre coordonate.
Voi incerca sa reiau demonstratia, sper sa nu afecteze prea mult ceea ce am scris pana acum.

Cum ecuatia inaltimii

(am dedus-o in acelasi mod ca si ecuatia dreptei

),

verifica ecuatia acesteia, adica apartine ei, deci nu pot obtine o noua relatie.
Cu asta am aratat ca inaltimile sunt concurente in ortocentru.
Evident in toata demonstratia avem:

.
Pentru cazuri particulare pentru

(a.i. ABC = triunghi isoscel, echilateral, dreptunghic, sau combinatii) se obtin pozitii particulare pentru punctele

.
Mai cercetez...

Obs. Daca nu reusesc sa demonstrez analitic problema, aceasta nereusita se transpune si in incercarea de demonstrare geometrica.

Pentru cei care incearca (si) rezolvari sintetice, o mana de ajutor nu strica: puteti vizualiza o figura care ne spune ca problema are solutie si cum putem desena aceste triunghiuri accesand http://www.geocities.com/costica562001/baza/ortocentruGeoNet_var17_oct.html. Ramane sa transpunem, ceea ce vedem, intr-o demonstratie coerenta care sa valideze sau sa invalideze observarile cu ... ochiometrul!!
Numai bine,

[Citat] Pentru cei care incearca (si) rezolvari sintetice, o mana de ajutor nu strica: puteti vizualiza o figura care ne spune ca problema are solutie si cum putem desena aceste triunghiuri accesand http://www.geocities.com/costica562001/baza/ortocentruGeoNet_var17_oct.html. Ramane sa transpunem, ceea ce vedem, intr-o demonstratie coerenta care sa valideze sau sa invalideze observarile cu ... ochiometrul!! Numai bine,

Vreti sa spuneti ca demonstratia este incoerenta? :P Sunt in goana dupa o ultima relatie(INDEPENDENTA) intre coordonate. Cred ca ea exista, dar eu inca nu o vad (oare e prea aproape, incat nu o vad?)...
S-ar putea sa fie o dependenta circulara, eliptica, hiperbolica, parabolica, etc. (dau si eu niste exemple). Dar este!

O remarca: figurile dinamice "marca Dumneavoastra" sunt SUPER!:P

Ma gandesc la ...Ceva. La teorema. Ea are darul de a lega toate coordonatele...