[Citat] Daca ducem paralele prin M si N la axele de coordonate, intersectiile lor vor avea coordonatele , respectiv . In dreptunghiul format , diagonalele se intersecteaza dupa punctul , unde este situat pe dreapta (linie mijlocie in triunghiul ABC). Putem scrie doua relatii intre coordonate si anume: (de fapt cunoscuta deja),

Daca tot ai incercat sa rezolvi problema analitic (este ultima metoda pe care incerc sa o aplic! Pitagora, Euclid (cei autentici!) nu stiau geometrie analitica si ... au dat ceva rezultate!), uitandu-te la constructia indicata de mine in acel link, constati ca singura VARIABILA este M. Deci alegand ca sistem de axe: Oy=inaltimea din A, Ox=BC, am avea A(0,a), B(b,0), C(c,0) si M(m,0) cu b<m<c (sau c<m<b)( b si/sau c putand fi negativi). In acest fel scapam de o abundenta de indici si inutile variabile. Ne foloseste la ceva?
Numai bine,

[Citat] Daca tot ai incercat sa rezolvi problema analitic (este ultima metoda pe care incerc sa o aplic! Pitagora, Euclid (cei autentici!) nu stiau geometrie analitica si ... au dat ceva rezultate!), uitandu-te la constructia indicata de mine in acel link, constati ca singura VARIABILA este M. Deci alegand ca sistem de axe: Oy=inaltimea din A, Ox=BC, am avea A(0,a), B(b,0), C(c,0) si M(m,0) cu b<m<c (sau c<m<b)( b si/sau c putand fi negativi). In acest fel scapam de o abundenta de indici si inutile variabile. Ne foloseste la ceva? Numai bine,

Am crezut ca am ales cel mai optim sistem de axe, va trebui sa reiau tot. Nu conteaza.

Rezultatul acela ca mijlocul unei laturi a triunghiului MNP este tot timpul pe unul din liniile mijlocii a triunghiului ABC ar trebui sa ne conduca la niste relatii (sau inca nu le vad), cred...
Ce parere aveti?

Ca o paranteza, imi place mai mult sa lucrez cu metoda analitica, descopar mai repede unele relatii astfel, oricum rezultatele se pot transpune si in relatii geometrice.

1. Daca analizam pozitia punctelor M si S fata de D, poate observam ca sunt simetrice fata de D, mijlocul lui BC.
2. Analizand modul in care s-a facut constructia unui triunghi MNP care sa aiba acelasi centru de greutate cu triunghiul dat si observand ca am plecat de la M si le-am gasit pe celelalte, m-as putea gandi ca as putea face la fel cu celelalte doua puncte! Daca problema este consistenta, plecand de la N sau P ar trebui sa-l regasec pe M. Si .. chiar se intampla asta! (Pentru cei care privesc pentru prima data acest topic ... e vorba de http://www.geocities.com/costica562001/CentruDeGreutate_1.htm.
Deci avem niste paralelisme care leaga multe segmente! Vom gasi triunghiuri care au cate doua laturi respectiv proportionale iar a treia latura trebuie sa apartina si unui triunghi echialteral! Sunt congruente?
3. Oricat m-am straduit AZI, fara calcule (de rutina, dar lungute!) n-am gasit o solutie! (Chiar si asa apar probleme interesante! Incercati!) Poate mai tarziu sau poate altineva are o mirifica idee!
Numai bine,

Pentru programul Euclidian si o reprezentare destul de sugestiva a problemei in discutie (realizata cu programul amintit) puteti accesa: http://www.geocities.com/costica562001/baza/Centru_gr.html. Sper sa va ajute la ceva! Oricum, daca as putea, as impune ca in scoli sa se foloseasca programe de acest tip! Nu mai comentez!
Numai bine,

Eu am vrut sa am doar doua variabile pentru toata problema, de asta am ales varianta axelor astfel.
C - care sa genereze orice triunghi si M (N si P a caror coordonate sa le exprim (DACA AS REUSI problema ar fi rezolvata) functie de coordonatele lui M).
Dar nu ma las...pana nu gasesc legatura :P

Ma gandesc si la o varianta parametrizata pentru coordonatele punctelor M,N,P.
Daca imi imaginez ca M,N,P ar fi trei masini (Mercedes, Nissan, Pontiac), ele pornesc simultan din cele trei varfuri ale triunghiului ABC, trec prin mijlocul laturilor triunghiului, de asemenea, in acelasi timp si ajung in varfurile urmatoare in acelasi timp (evident vor avea viteze diferite, deoarece au de parcurs distante diferite).

Ideea ma duce putin cu gandul la una din legile lui Kepler: pe orbita eliptica ariile maturate de razele vectoare sunt egale in intervale de timp egale. Prin analogie focarul F=centrul de greutate G, triunghiul ABC-orbita, M,N,P - 3 pozitii ale "planetei". Ar trebui sa gasesc o "lege" asemanatoare.

[Citat] Eu am vrut sa am doar doua variabile pentru toata problema, de asta am ales varianta axelor astfel. C - care sa genereze orice triunghi si M (N si P a caror coordonate sa le exprim (DACA AS REUSI problema ar fi rezolvata) functie de coordonatele lui M). Dar nu ma las...pana nu gasesc legatura :P Ma gandesc si la o varianta parametrizata pentru coordonatele punctelor M,N,P. Daca imi imaginez ca M,N,P ar fi trei masini (Mercedes, Nissan, Pontiac), ele pornesc simultan din cele trei varfuri ale triunghiului ABC, trec prin mijlocul laturilor triunghiului, de asemenea, in acelasi timp si ajung in varfurile urmatoare in acelasi timp (evident vor avea viteze diferite, deoarece au de parcurs distante diferite). Ideea ma duce putin cu gandul la una din legile lui Kepler (pe orbita eliptica ariile maturate de razele vectoare sunt egale in intervale de timp egale. Prin analogie focarul F=centrul de greutate G, triunghiul ABC-orbita, M,N,P - 3 pozitii ale "planetei" ).

Mai astept o solutie pana LUNI, 13.10.2008. Daca la ora 20 nu am o solutie acceptabila, voi prezenta varianta mea! Buna sau rea, trebuie sa apara ceva; ce se inghesuie prea mult, risca sa-si piarda din dimensiuni!
Numai bine,

Okay, prezentati solutia, eventual mai cladim pe ea.
Ca idee, o astfel de problema nu se poate rezolva contra cronometru.
Unii poate s-au gandit o viata la ea.

P.S. Mai e mult pana LUNI :P

[Citat] 1. Daca analizam pozitia punctelor M si S fata de D, poate observam ca sunt simetrice fata de D, mijlocul lui BC. ... Numai bine,

Aceasta observatie este echivalenta cu faptul ca mijlocul lui M se afla pe linia mijlocie a triunghiului ABC.

Desenul nu este corect! Acum imi dau seama. Cum este creat, toate mijloacele segmentelor triunghiului MNP se deplaseaza pe liniile mijlocii ale triunghiului ABC (pentru orice fel de triunghi). Se poate observa asta din figura. E vorba de punctul "I" care nu este in general pe linia mijlocie, deci e o greseala de constructie.

Prin verificarile mele (Episodul.2) am aratat ca acest lucru nu se intampla in general, doar unul din mijloace (P') se afla pe linia mijlocie a triunghiului ABC (de orice natura), iar celelalte doua (una, doua sau ambele) se afla pe celelalte linii mijlocii, doar daca sunt indeplinite conditiile intre coordonate (**),(***) sau ambele simultan. Deci doar pentru cazuri particulare (de ex. triunghi echilateral, toate cele 3 mijloace ale triunghiului MNP se afla pe liniile mijlocii ale triunghiului ABC).

[Citat] Scriem ecuatia dreptei : . Verificam daca apartine lui A'B'. Inlocuind avem: echiv. , unde (din relatia *) , adica , ceea ce este adevarat pentru orice segment MN (din modul in care s-a facut alegerea axelor xOy), adica mijlocul segmentului MN (P') apartine segmentului A'B' (linie mijlocie in triunghiul ABC). Scriem ecuatia dreptei : . Verificam daca apartine lui A'C'. Daca nu apartine atunci obtinem conditia ca sa apartina, inseamna ca in general intersectia segmentelor A'C' cu MP nu coincide cu N' (il putem afla si pe acesta intersectand ecuatiile celor 2 drepte). Obtinem conditia: (**) ca N' sa apartina lui A'C' (linie mijlocie in triunghiul ABC). Scriem ecuatia dreptei : . Verificam daca apartine lui B'C'. Daca nu apartine atunci obtinem conditia ca sa apartina, inseamna ca in general intersectia segmentelor B'C' cu NP nu coincide cu M' (il putem afla si pe acesta intersectand ecuatiile celor 2 drepte). Obtinem conditia: (***) ca M' sa apartina lui B'C' (linie mijlocie in triunghiul ABC).

Nu am calculat si celelalte 2 puncte de intersectie. De fapt din conditia ca celelalte 2 mijloace, N' si M', sa coincida cu intersectiile segmentelor A'C' cu MP (notat cu N"), respectiv B'C' cu NP (notat cu M") se obtin conditiile finale (**') si (***') (le voi prezenta).

"Atentia!" este eronata. Acum imi dau seama ca relatiile (**) si (***) sunt adevarate (rezulta din asemanarea unor triunghiuri dreptunghice). Fiind adevarate, din conditia ca cele 2 puncte sa coincida (M' si intersectia dreptelor B'C' cu NP, N' si intersectia dreptelor A'C' cu MP) voi obtine niste relatii intre coordonatele punctelor M,N,P!(cred chiar dependentele intre coordonate).
Deci in orice situatie toate cele trei mijloace ale triunghiului MNP sunt pe liniile mijlocii ale triunghiului ABC.

P.S. Ma pun pe treaba
Nu stiu ce simt altii, dar unele probleme nasc pasiuni...

Scuze, poate documentul legat de aceasta problema este cam lungut, dar eu lucrez mai mult "live". Pe viitor voi schimba tactica, imi voi redacta dinainte ideile.