Pe laturile [BC], [AB], [AC] ale unui triunghi oarecare ABC se considera punctele M, N, P astfel incat triunghiurile ABC si MNP sa aiba acelasi centru de greutate. (Exista o infinitate de triunghiuri MNP cu aceasta proprietate- dem. nivel cls7). a) Sa se arate ca daca unul dintre aceste triunghiuri (MNP)este echilateral, atunci trABC este echilateral. b) Sa se arate ca pentru orice triunghi ABC gasim un trMNP care sa fie dreptunghic.

[Citat] Pe laturile [BC], [AB], [AC] ale unui triunghi oarecare ABC se considera punctele M, N, P astfel incat triunghiurile ABC si MNP sa aiba acelasi centru de greutate. (Exista o infinitate de triunghiuri MNP cu aceasta proprietate- dem. nivel cls7). a) Sa se arate ca daca unul dintre aceste triunghiuri (MNP)este echilateral, atunci trABC este echilateral. b) Sa se arate ca pentru orice triunghi ABC gasim un trMNP care sa fie dreptunghic.

Ca idee de rezolvare am putea utiliza relatia lui Leibniz, considerand un punct exterior triunghiului ABC. Relatia ramane valabila si daca punctul este situat pe laturile triunghiului sau este interior triunghiului (il alegem convenabil), combinat cu relatia lui Stewart. Ar trebui sa mearga.

Alte variante ar fi: prin interpretarea vectoriala a problemei, utilizand geometria analitica, analiza complexa.

a) daca aratam ca M, N, P sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC problema e rezolvata;
b) rezolvare prin reducere la absurd.

Sa ne ajutam reciproc: Daca va intereseaza problema si aveti oarece dificultati in construirea unei figuri convenabile, va ajut eu!
Accesati
http://www.geocities.com/costica562001/CentruDeGreutate_1.htm
si veti avea o POZA BUNA si MISCATOARE!
Rasuciti-o cat doriti .... pana va vine o idee! Atunci, cu Andra in cor, sa strigam: yupiiiiiiiiiiiiiiiiii, am rezolvat-o!
Numai bine,

[Citat] Sa ne ajutam reciproc: Dac va intereseaza problema si aveti oarece dificultati in construirea unei figuri convenabile, va ajut eu! Accesati http://www.geocities.com/costica562001/CentruDeGreutate_1.htm si veti avea o POZA BUNA si MISCATOARE! Rasuciti-o cat doriti .... pana va vine o idee! Atunci, cu Andra in cor, sa strigam: yupiiiiiiiiiiiiiiiiii, am rezolvat-o! Numai bine,

Sa cautam idei de rezolvare? Oare e rezolvabila?!... intreb si eu asa...
Deocamdata ma chinui cu sugestiile mele...

Poza e de mare ajutor!

[Citat] Pe laturile [BC], [AB], [AC] ale unui triunghi oarecare ABC se considera punctele M, N, P astfel incat triunghiurile ABC si MNP sa aiba acelasi centru de greutate. (Exista o infinitate de triunghiuri MNP cu aceasta proprietate- dem. nivel cls7). a) Sa se arate ca daca unul dintre aceste triunghiuri (MNP)este echilateral, atunci trABC este echilateral. b) Sa se arate ca pentru orice triunghi ABC gasim un trMNP care sa fie dreptunghic.

Obs. Cum ati formulat aici b) nu este valabil pentru orice triunghi ABC (de exemplu pentru cele apropiate sa zicem ca forma de triunghi echilateral, nu exista MNP dreptunghic, deci trebuie sa existe o relatie(conditie) intre laturile (sau unghiurile)lui ABC (sa zicem un fel de raport baza-inaltime care caracterizeaza "zveltetea" triunghiului) pentru ca MNP dreptunghic sa poata exista).

[Citat] Obs. Cum ati formulat aici b) nu este valabil pentru orice triunghi ABC (de exemplu pentru cele apropiate sa zicem ca forma de triunghi echilateral, nu exista MNP dreptunghic, deci trebuie sa existe o relatie(conditie) intre laturile (sau unghiurile)lui ABC (sa zicem un fel de raport baza-inaltime care caracterizeaza "zveltetea" triunghiului) pentru ca MNP dreptunghic sa poata exista).

1. In fisierul pentru care am indicat o adresa, http://www.geocities.com/costica562001/CentruDeGreutate_1.htm, am precizat clar (cu litere mari!): NU TOATE AFIRMATIILE SUNT ADEVARATE SIMULTAN!
Este evident ca daca trABC este echilateral, nu vom putea gasi triunghiuri dreptunghice care sa indeplineasca conditia din enunt! (Sau macar asta ... vedem!)
2. Daca problema este rezolvabila sau nu, vom putea (daca dorim) sa stabilim impreuna! Am mai intalnit cazuri cand SE PROPUNE O PROBLEMA, nu se stie solutia si: a) se gasesc solutii la probleme .... asemanatoare (instructiv!); b) se demonstreaza ca problema nu area solutie; c) se arata ca problema are solutii dar nu se gaseste o formula de generare a lor; d) nu se gaseste nimic, totul ramane uitat, pentru ca .... daca n-am scris, uitat ramane!
Numai bine,

De exemplu observ ca aria triunghiului MNP este o functie continua care la o deplasare a lui M de la B la C scade de la aria lui ABC pana la 1/4 din ea (M mijlocul lui BC) si apoi creste pana la aceeasi arie (scade lent, apoi brusc, apoi din ce in ce mai lin; si apoi pe cealalta jumatate variaza cam la fel). La fel si unghiurile lui MNP (sunt functii continue de la unghiul mai mic la mai mare).(Evident intre miscarile lui M (l-am considerat reper pe un triunghi oarecare ABC), N, P exista o stransa legatura).(De monotonie nu sunt chiar sigur, cand M se apropie de mijlocul lui BC).

De exemplu intre un unghi ascutit si unul obtuz al lui ABC (deci obtuzunghic), exista un unghi drept, adica gasim MNP dreptunghic (nu e singura varianta, si in cazul triunghiurilor ascutitunghice se poate gasi MNP dreptunghic, dar cu niste conditii asupra lungimilor laturilor).

Cum trebuie sa judec problema? Vizual constat toate aceste lucruri (nu sunt singurele). Aceste observatii pot ascunde niste relatii. De fapt asta trebuie sa cautam, nu? Sau existenta (functie de natura triunghiului ABC)?...

O parere personala (poate subiectiva): e prea armonioasa problema pentru a nu ascunde ceva frumos.

Fara a restrange generalitatea problemei putem considera latura AB fixa.
Putem genera orice fel de triunghi doar plimband punctul C (doar in cadranul I al sistemului de coordonate x0y definit in cele ce urmeaza).
Consideram un sistem de axe ortogonale a.i.

origine,

fixe (deci 0x in prelungirea lui AB),

.
Construim medianele

,

,

.
Consideram punctele

pe laturile respectiv

, de coordonate

.
Construim medianele

,

,

,

.
Avem si

.

Folosind formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment, respectiv formulele pentru coordonatele centrului de greutate, si faptul ca centrul de greutate se gaseste la 1/3 de baza si 2/3 de varf, pe mediana, obtinem:

,

.

.

.

Din ipoteza avem ca:

(*).

Cum
G apartine MM' (a.i. MG=2GM')
G apartine NN' (a.i. NG=2GN')
G apartine PP' (a.i. PG=2GP') si calculand

, functie de coordonatele

, obtinem:

{Obs. Formulele sunt valabile functie de pozitiile relative ale punctelor(eventual au loc schimbari de semne), deci o formula generala ar fi in modul). Am considerat un "flash" al graficului cand M, situat pe BC, sa fie putin deasupra lui D, si triunghiul ABC ascutitunghic.
In particular, formulele se scriu functie de pozitia punctelor M, N, P (M', N', P') fata de centrul de greutate G (deasupra, dedesubt, la stanga, la dreapta).}

, adica relatia (*).

Deci vom avea o prima relatie intre coordonate:

.


O observatie interesanta va veni in episodul 2 :P

Aceste rezultate (pana aici) nu semnifica existenta unei infinitati de solutii, deoarece M,N,P s-au ales arbitrar?

Acum mi-a picat fisa. Asta inseamna.

Deci primul subpunct e rezolvat.

Scriem ecuatia dreptei

:

.
Verificam daca

apartine lui A'B'.

Inlocuind avem:

echiv.

,
unde

(din relatia *)

, adica

, ceea ce este adevarat pentru orice segment MN (din modul in care s-a facut alegerea axelor xOy), adica mijlocul segmentului MN (P') apartine segmentului A'B' (linie mijlocie in triunghiul ABC).


Scriem ecuatia dreptei

:

.
Verificam daca

apartine lui A'C'. Daca nu apartine atunci obtinem conditia ca sa apartina, inseamna ca in general intersectia segmentelor A'C' cu MP nu coincide cu N' (il putem afla si pe acesta intersectand ecuatiile celor 2 drepte).

Inlocuind avem:

echiv.

,
unde

(din relatia *)
Obtinem conditia:

(**) ca N' sa apartina lui A'C' (linie mijlocie in triunghiul ABC).

Scriem ecuatia dreptei

:

.
Verificam daca

apartine lui B'C'. Daca nu apartine atunci obtinem conditia ca sa apartina, inseamna ca in general intersectia segmentelor B'C' cu NP nu coincide cu M' (il putem afla si pe acesta intersectand ecuatiile celor 2 drepte).

Inlocuind avem:

echiv.

,
unde

(din relatia *)
Obtinem conditia:

(***) ca M' sa apartina lui B'C' (linie mijlocie in triunghiul ABC).

Pentru ca M',N',P' sa apartina simultan liniilor mijlocii trebuie ca (**) si (***) sa fie indeplinite concomitent. (P' apartine indiferent de conditii).

Observatiile cred ca sunt un inceput pentru atacarea celorlalte subpuncte.

De fapt am gasit legatura intre toate punctele problemei.

,

,

,

,

.
M si N se deplaseaza a.i. mijlocul segmentului MN (P') se afla totdeauna pe linia mijlocie (A'B'), iar M',N',P sunt legate prin G de miscarea punctelor M,N,P', iar pozitia lui G depinde de coordonatele punctelor A,B,C(unde doar C e suficient sa fie variabil in cadranul I pozitiv al axelor, acoperind toate triunghiurile).

Daca ducem paralele prin M si N la axele de coordonate, intersectiile lor

vor avea coordonatele

, respectiv

.
In dreptunghiul format

, diagonalele se intersecteaza dupa punctul

, unde

este situat pe dreapta

(linie mijlocie in triunghiul ABC).
Putem scrie doua relatii intre coordonate si anume:

(de fapt cunoscuta deja),

(adevarata) (cred ca nu am inceput bine, ma invart in cerc!. Mi-a intrat ceva in ochi si nu mai vad bine)...

Sper sa nu ajung la episodul 123...n :P