Se considera o functie f definita pe intervalul(a,+oo) cu valori in multimea numerelor reale,care este derivabila.Daca limita laterala la dreapta in punctul a a functiei f este egala cu limita functiei f in punctul +oo ,iar aceste limite fiind amandoua egale .Sa se arate ca exista un punct c situat in intervalul (a,+oo) astfel incat f`(c)=0.

[Citat] Se considera o functie f definita pe intervalul(a,+oo) cu valori in multimea numerelor reale,care este derivabila.Daca limita laterala la dreapta in punctul a a functiei f este egala cu limita functiei f in punctul +oo ,iar aceste limite fiind amandoua egale .Sa se arate ca exista un punct c situat in intervalul (a,+oo) astfel incat f`(c)=0.

f derivabila pe (a, +oo) rezulta f continua pe (a, +oo).
lim(x>>a, x>a)f(x)=lim(x>>+oo)f(x).
Daca teorema lui Rolle este valabila si pe intervale deschise si nemarginite la un capat(nu numai pe intervale compacte [a,b], a<b, a,b reale), atunci exista c din intervalul (a,+oo), a.i. f'(c)=0. Intuitiv acest lucru are loc.

Multumesc pentru raspuns! La acelasi rationament ma gandeam si eu,dar credeam ca exista vreo demonstratie mai riguroasa!Oricum ,daca cineva stie vreo demonstratie mai riguroasa il rog sa o publice!
O zi buna!

[Citat] Multumesc pentru raspuns! La acelasi rationament ma gandeam si eu,dar credeam ca exista vreo demonstratie mai riguroasa!Oricum ,daca cineva stie vreo demonstratie mai riguroasa il rog sa o publice! O zi buna!

Presupunem ca derivata lui f nu se anuleaza. Cum f' are proprietatea lui Darboux, rezulta ca f' are semn constant. Fara a restrange generalitatea putem presupune ca f'>0. In acest caz f este strict crescatoare, caz in care cele doua limite nu pot fi egale.

[Citat] f derivabila pe (a, +oo) rezulta f continua pe (a, +oo). lim(x>>a, x>a)f(x)=lim(x>>+oo)f(x). Daca teorema lui Rolle este valabila si pe intervale deschise si nemarginite la un capat(nu numai pe intervale compacte [a,b], a<b, a,b reale), atunci exista c din intervalul (a,+oo), a.i. f'(c)=0. Intuitiv acest lucru are loc.

Aceasta este doar o reformulare a enuntului.

Stimate domnule Pitagora,va multumesc pentru raspuns.
O zi buna!