Sa se rezolve in numerele naturale:

.

[Citat] Sa se rezolve in numerele naturale: .

Numerele x,y,z,n sunt numere diferite de 0 si x,y,z sunt prime intre ele!?!?

[Citat] Sa se rezolve in numerele naturale: .

Nu se impune nici o conditie asupra numerelor, se cauta solutiile acestei ecuatii in multimea numerelor naturale.

[Citat] Sa se rezolve in numerele naturale: .

Nu credeti ca exagerati? Exista provocari, dar trebuie sa fie si o limita; este posibil ca unele probleme propuse sa aiba ... candva un sens, o aplicabilitate, dar nu inteleg de unde a aparut acesta avalansa de probleme IN SINE. Sa stiti ca sunt foarte receptiv la SF-uri matematice; orice intrebare e o provocare care ma incita, chiar daca stiu ca nu are nicio aplicatie. Dar ... sa coboram in picaj pe pamant! Avem atatea probleme curente pe care nici macar nu stim sa le modelam si ne ocupam cu ... generalizari, extinderi si inventii eterice!
Dupa ce rezolvati ecuatia de mai sus, intr-o pauza, incercati si

.
Va asigur ca solutia nu are o semnificatie terestra, deci ... un prim contact!?
Sa nu uitam de unde a plecat matematica si ce se vrea de la ea! Ecuatiile

si

au un temei practic (stim). Aducerea factorialilor e un joc in sine; nu va amgiti ca veti descoperi ceva ce nu au analizat SACRII nostri matematicieni! Ganditi-va ca unii au intocmit tablele pentru logaritmi si ... NU AVEAU COMPUTER! Cine mai calculeaza azi (pentru stiinta celorlalti si constiinta propriei puteri de munca!) asemenea valori? Si totusi ele au o importanta mai mare decat ultimile 3 cifre ale lui 2 la puterea 2008.
Final: S-a pus un premiu pe cea mai trasnita problema? Eu nu stiu! Daca va plac inaltimile extraterestre, nu am nimic impotriva, dar parca mai mult imi plac problemele CU SENS. Un exemplu nefinalizat: Sunt intr-o sala de sport, joc tenis de masa cu un priten, avem 6 mingi pe care le folosim. Cand o minge depasete o distanta oarecare (sa-i spunem lene?) o abandonam si luam alta. Evident, candva ramanem fara mingi! Care este drumul minim pe care trebuie sa-l faca un jucator pentru ca plecand de la masa de joc sa culeaga toate mingile si sa se intoarca la locul sau? Cineva ar spune ca problema e de geometrie sau teoria grafurilor; tind sa cred ca intotdeauna jucatorul va gasi acest drum fara foarte multe calcule. Depinde si de ... cat vrea sa traga de timp!
Numai bine,

Ecuatia poate parea complicata dar este foarte simpla din cauza acelor factoriali!

[Citat] Sa se rezolve in numerele naturale: .

Marea teorema a lui Fermat, de curand rezolvata, spune ca ecuatia

nu are solitii in multimea numerelor naturale pentru

Aceasta este adevarata si daca avem de-a face cu factoriale, ca si ele sunt numere naturale. Deci trebuie sa vedem ce solutii se pot obtine pentru

(se observa ca pentru

obtinem 1=2.)
Observam deasemenea ca

1. Pentru

, presupunem ca

. (Din motive de simetrie celalat caz se rezolva la fel.)Deasemenea

nu se poate, pentru ca obtinem pe radical din doi numar rational!
Impart ecuatia la

si obtinem:

De aici

, ceea ce e imposibil.
Deci in acest caz, ecuatia data nu are solutii.
2. Pentru

, ecuatia devine:

.Se gasesc usor ca solutii tripletele:

Daca cel putin unul dintre numerele x si y este mai mare ca 1, din motive de simetrie presupunem ca

si

Cazul celalalt tratandu-se la fel.
Fie

Impartim ecuatia la

si obtinem:

de unde

, care evident nu are solutii in

Singurele solutii ale ecuatiei date sunt deci cele date mai sus in cazul

Daca "n" este un numar natural atunci:
-pentru n=0 nu exista solutii.
-pentru n=1 rezulta x=y=0,z=2
-pentru n>2 nu exista solutii.

Stimate Domn Obreja, nu sunteti obligat sa rezolvati problema "x" daca vi se pare prea grea. Nici eu nu rezolv probleme care sunt peste puterile mele de gandire. Cam toate problemele postate de mine au solutii (sunt decente), nu cer ceva "extraterestru". Nu suntem aici la concurs, rezolvarea lor poate veni si peste un an, nu ma supara, dar e bine sa le vada cine intra pe site, chiar daca nu le rezolva. Si cele personale, sunt 2(deocamdata) + 1(asta am lamurit-o), mi se par logice, poate sunt mai grele, eu doar le-am lansat(voi incerca sa le rezolv chiar eu si voi posta raspunsurile).

[Citat] Daca "n" este un numar natural atunci: -pentru n=0 nu exista solutii. -pentru n=1 rezulta x=y=0,z=2 -pentru n>2 nu exista solutii.

Am uitat sa trec si (x=y=1;z=2);(x=0,y=1,z=2);(x=1;y=0,z=2).

Un raspuns elegant si complet a venit, surprinzator de repede, din partea Domnului minimarinica chiar in timp ce redactam raspunsul la "exagerarile" mele.

Intr-o alta interventie am pomenit de un mic "epsilon pozitiv". Existenta acestui site, care presupune si implica o munca titanica din partea "administratorilor and Co."(scuzati de expresie, e in sensul bun) chiar este un pas mare in educatia, cel putin matematica (pe langa scoala, in paralel cu ea), a celor ce viziteaza acest site. Eu va admir pentru efortul depus!

[Citat] Sa se rezolve in numerele naturale: .

Am propus aceasta problema pornind de la alta, unde (a!)^n se definea astfel: egal cu a! pentru n=1 si egal cu [(a!)^(n-1)]! pentru n natural >1 si mi-am zis ca hai sa las definitia normala a puterii factorialului ca doar are solutii si aceasta ecuatie.
Pentru prima definitie se obtine x=1,y=1,z=2 pentru orice n natural.