Fie un cerc de raza R. Ce raza (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat punctul diametral opus punctului de tangenta, dupa n rotatii complete sa limiteze o suprafata egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste.(curba arata ca niste petale, curba inchisa).

[Citat] Fie un cerc de raza R. Ce raza (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat punctul diametral opus punctului de tangenta, dupa n rotatii complete sa limiteze o suprafata egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste.(curba arata ca niste petale, curba inchisa).

Cred ca mai trebuie cizelat putin enuntul. Ale cui sunt rotatiile (sau hai sa zicem ca banuim ca e vorba de al doilea cerc) dar in jurul cui se fac acele rotatii?
Si daca al doilea cerc este exterior primului, atunci suprafata de care vorbesti(corect ar fi aria suprafetei),este STRICT mai mare ca aria primului cerc. Deci al doilea cerc trebuie sa fie interior primului.

[Citat] Fie un cerc de raza R. Ce raza (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat punctul diametral opus punctului de tangenta, dupa n rotatii complete sa limiteze o suprafata egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste.(curba arata ca niste petale, curba inchisa).

Fie un cerc de raza R. Ce raza r (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat, dupa n rotatii complete(ale celui de al doilea cerc), punctul diametral opus punctului de tangenta(punct situat pe al doilea cerc), sa limiteze o suprafata inchisa cu aria egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste(primul cerc). Graficul arata ca o floare cu n petale(curba incepe cu o jumatate de petala si trebuie sa se inchida cu cealalta jumatate a ei, petalele sunt generate de acel punct). Cercurile nu sunt interioare! Cat trebuie sa fie "r" a.i. aria petalelor=aria primului cerc.(marimea petalelor e data de acest "r" ce se cere). (Nu cred sa nu aiba vreo solutie, o voi rezolva si eu).
Curba generata de acel punct se cheama cicloida.

Ori e pusa iar problema gresit? Conditia ca curba sa se inchida implica
2(pi)n*r=2(pi)*R si deci r=R/n si nu are rost sa merg mai departe.

P.S. Nu prea am fler in compus probleme. Cred ca si asta se invata. Dar incercarea valoreaza uneori mai mult:P.

[Citat] [Citat] Fie un cerc de raza R. Ce raza (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat punctul diametral opus punctului de tangenta, dupa n rotatii complete sa limiteze o suprafata egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste.(curba arata ca niste petale, curba inchisa). Fie un cerc de raza R. Ce raza r (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat, dupa n rotatii complete(ale celui de al doilea cerc), punctul diametral opus punctului de tangenta(punct situat pe al doilea cerc), sa limiteze o suprafata inchisa cu aria egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste(primul cerc). Graficul arata ca o floare cu n petale(curba incepe cu o jumatate de petala si trebuie sa se inchida cu cealalta jumatate a ei, petalele sunt generate de acel punct). Cercurile nu sunt interioare! Cat trebuie sa fie "r" a.i. aria petalelor=aria primului cerc.(marimea petalelor e data de acest "r" ce se cere). (Nu cred sa nu aiba vreo solutie, o voi rezolva si eu). Curba generata de acel punct se cheama cicloida. Ori e pusa iar problema gresit? Conditia ca curba sa se inchida implica 2(pi)n*r=2(pi)*R si deci r=R/n si nu are rost sa merg mai departe. P.S. Nu prea am fler in compus probleme. Cred ca si asta se invata. Dar incercarea valoreaza uneori mai mult:P.

Curba pe care o descrii aici se numeste epicicloida, si nu cicloida. Cicloida se obtine daca cercul se rostogoleste tangent unei drepte. In acest caz se stie ca aria unei "petale" este

. Pentru epicicloida nu stiu daca exista vreo formula, dar se poate calcula folosind calcul integral....de catre cine il stapaneste suficient(eu nu indraznesc sa incerc!).
PS.Vezi Wikipedia.

Vad ca o astfel de problema exista deja.
Lungimea cicloidei egala cu 8r, iar aria subgraficului, cum ati spus 3(pi)r^2, acestea se determina relativ usor. In cazul epicicloidei lucrurile sunt mai complicate, ar trebui determinata aria unei suprafete delimitate de 2 curbe (cerc si epicicloida), folosind calculul integral intre limitele intre care cele 2 curbe se intersecteaza.

[Citat] Fie un cerc de raza R. Ce raza (functie de R) trebuie sa aiba un al doilea cerc, care se rostogoleste fara alunecare pe primul, astfel incat punctul diametral opus punctului de tangenta, dupa n rotatii complete sa limiteze o suprafata egala cu cea a cercului pe care se rostogoleste.(curba arata ca niste petale, curba inchisa).

1. Cred ca nu v-ar strica o vizita prin http://mathworld.wolfram.com/ si/sau http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html. N-o spun cu rautate; mi s-a intamplat sa muncesc cateva saptamani ca sa aflu un rezultat descoperit in sec. 17-18!!
2. Ce intelegeti prin ALUNECARE? Iarasi sunt nevoit sa spun ca nu sunt tendentios, dar folosim in matematica termeni care nu ne apartin! Un exemplu de gimnaziu: un triunghi se indoaie de-a lungul linei mijlocii pana cand ... Ce inseamna asta? Unde este definita, descrisa sau cum doriti operatia de indoire a unei figuri? N-ati formulat dvs. problema dar vorbiti de ALUNECARE; deci ce este aceasta alunecare? Eu am stinta de un singur fel de alunecare: line slider point sau circle slider point sau ... ceva asemanator pe segmente. Asta inseamna puncte care se misca pe anumite curbe, fara niciun impediment (gen frecare, alunecare (?!!)). (vezi euclidian.exe pe Google).
3. Introducerea unor termeni mecanici in matematica trebuie facuta cu precizari clare sau ajungem la aproximarile ingineresti; ei, si? a mai cazut un pod! Vom face altul pe rau in jos, altul ...
Nuami bine,

Din cate am citit indicatiile acestui site, pot posta probleme de orice grad de dificultate. Nu ma astept(si asta este de la sine inteles) sa rezolve un elev de liceu o problema care se preteaza pentru facultate(am dat un exemplu) pentru ca in mod normal nu are bagajul de cunostinte necesar, desi daca este dotat o poate face. Eu am lansat o problema si nu pot fi Nostradamus(si chiar de as fi) sa stiu cine o citeste sau incearca sa o rezolve. Cred ca un cititor poate sa incadreze o problema intr-o anumita categorie de dificultate si sa isi dea seama daca o poate sau nu aborda(si bunul simt il ajuta, daca nu altceva!)

Rostogolire fara alunecare inseamna ca intre cele doua suprafete(sau curbe) nu exista miscare relativa in punctul de contact(in cazul a doua cercuri asta s-ar traduce ca lungimile celor doua arce, masurate pe cele doua cercuri, intre punctul initial si final de contact, pe care s-a produs rostogolirea sunt egale).
Astfel de curbe se invata la facultate(cred chiar de matematica la capitolul "Calcul integral").