[Citat] 2. O problema interesanta: sa se determine toate numerele naturale x, pentru care exista un numar natural, y, astfel incat (x-1)x(x+1)=y(y+1)(y+2)(y+3). Seamana putin (ca scriere!) cu ce s-a propus, dar .. e altceva! Chiar m-ar interesa o rezolvare! Numai bine,

In produsul de trei termeni (x-1)x(x+1), in urma descompunerii in factori primi se vor gasi in mod cert:
A. un factor prim care este jumatate din unul din numerele (x-1), x, (x+1) (care este par)
SAU
B. un factor prim egal cu unul din numerele (x-1), x, (x+1), daca acel numar este prim
SAU
C. doi factor primi egali cu doua din numerele (x-1), x, (x+1) (primul si al treilea, deoarece acestea pot fi impare), daca sunt prime.

Acest(i) factor(i) prim(i) trebuie sa se gaseasca in descompunerea in factori primi ai produsului de 4 termeni y(y+1)(y+2)(y+3).
Putem considera chiar ca unul(doi) din termenii produsului y(y+1)(y+2)(y+3) este(sunt) chiar acest(i) factor(i) (sau maxim multiplu de doi (adica chiar numarul respectiv) in cazul A).

Putem lua separat solutia 0*1*2=0*1*2*3 (x=1,y=0).
Voi exemplifica doar (restul cazurilor se judeca la fel, e putin de lucru).
Cazul A:
1.Daca x-1=par, adica x=2k+1, k prim, k>=1, vom studia subcazurile cand k ia pozitiile de la 1 la 4 in produsul y(y+1)(y+2)(y+3)
a. k pe pozitia 1 (y=k) (k>=1):
2k(2k+1)(2k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)/:k (k dif. de 0) si obtinem in final
(k-2)(k-1)(k+1)=0, adica
k=1 solutie rezulta x=3, y=1
k=2 solutie rezulta x=5, y=2.
b. k pe pozitia 2 (y+1=k) (k>=2)
2k(2k+1)(2k+2)=(k-1)k(k+1)(k+2)/:k (k dif. de 0) si obtinem in final
k^3-6k^2-13k-6=0 cu solutii naturale ce trebuie cautate printre divizorii lui 6, mai mari sau egali cu 2: 2,3,6 care nu convin.
Etc.
Nu am rezolvat pana in capat nici eu, dar cred ca solutiile sunt (celelalte cazuri nu aduc solutii):
Solutia separata x=1,y=0
Solutiile de la 1.a) x=3,y=1 si x=5,y=2.

[Citat] [Citat] 2. O problema interesanta: sa se determine toate numerele naturale x, pentru care exista un numar natural, y, astfel incat (x-1)x(x+1)=y(y+1)(y+2)(y+3). Seamana putin (ca scriere!) cu ce s-a propus, dar .. e altceva! Chiar m-ar interesa o rezolvare! Numai bine, In produsul de trei termeni (x-1)x(x+1), in urma descompunerii in factori primi se vor gasi in mod cert: A. un factor prim care este jumatate din unul din numerele (x-1), x, (x+1) (care este par) SAU B. un factor prim egal cu unul din numerele (x-1), x, (x+1), daca acel numar este prim SAU C. doi factor primi egali cu doua din numerele (x-1), x, (x+1) (primul si al treilea, deoarece acestea pot fi impare), daca sunt prime. Acest(i) factor(i) prim(i) trebuie sa se gaseasca in descompunerea in factori primi ai produsului de 4 termeni y(y+1)(y+2)(y+3). Putem considera chiar ca unul(doi) din termenii produsului y(y+1)(y+2)(y+3) este(sunt) chiar acest(i) factor(i) (sau maxim multiplu de doi (adica chiar numarul respectiv) in cazul A). Putem lua separat solutia 0*1*2=0*1*2*3 (x=1,y=0). Voi exemplifica doar (restul cazurilor se judeca la fel, e putin de lucru). Cazul A: 1.Daca x-1=par, adica x=2k+1, k prim, k>=1, vom studia subcazurile cand k ia pozitiile de la 1 la 4 in produsul y(y+1)(y+2)(y+3) a. k pe pozitia 1 (y=k) (k>=1): 2k(2k+1)(2k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)/:k (k dif. de 0) si obtinem in final (k-2)(k-1)(k+1)=0, adica k=1 solutie rezulta x=3, y=1 k=2 solutie rezulta x=5, y=2. b. k pe pozitia 2 (y+1=k) (k>=2) 2k(2k+1)(2k+2)=(k-1)k(k+1)(k+2)/:k (k dif. de 0) si obtinem in final k^3-6k^2-13k-6=0 cu solutii naturale ce trebuie cautate printre divizorii lui 6, mai mari sau egali cu 2: 2,3,6 care nu convin. Etc. Nu am rezolvat pana in capat nici eu, dar cred ca solutiile sunt (celelalte cazuri nu aduc solutii): Solutia separata x=1,y=0 Solutiile de la 1.a) x=3,y=1 si x=5,y=2.

Marturisesc ca nu am mai parcurs acest mesaj, vazand discutia eronata de cazuri de la inceput si concluzia cu singurele solutii. Ecuatia mai are de exemplu si solutia x=56 si y=19.

[Citat] Marturisesc ca nu am mai parcurs acest mesaj, vazand discutia eronata de cazuri de la inceput si concluzia cu singurele solutii. Ecuatia mai are de exemplu si solutia x=55 si y=19.

Aveti dreptate!Cu o mica rectificare (si sunt convins ca asa ati vrut sa scrieti):x=56 si y=19.Este o problema interesanta!Are cumva o infinitate de solutii?!?

[Citat] [Citat] Marturisesc ca nu am mai parcurs acest mesaj, vazand discutia eronata de cazuri de la inceput si concluzia cu singurele solutii. Ecuatia mai are de exemplu si solutia x=55 si y=19. Aveti dreptate!Cu o mica rectificare (si sunt convins ca asa ati vrut sa scrieti):x=56 si y=19.Este o problema interesanta!Are cumva o infinitate de solutii?!?

Intr-adevar, am facut o greseala de tipar: x=56! Multumesc.

[Citat] [Citat] [Citat] Marturisesc ca nu am mai parcurs acest mesaj, vazand discutia eronata de cazuri de la inceput si concluzia cu singurele solutii. Ecuatia mai are de exemplu si solutia x=55 si y=19. Aveti dreptate!Cu o mica rectificare (si sunt convins ca asa ati vrut sa scrieti):x=56 si y=19.Este o problema interesanta!Are cumva o infinitate de solutii?!? Intr-adevar, am facut o greseala de tipar: x=56! Multumesc.

Ecuatia initiala se mai scrie sub forma

si care este o ecuatie de forma

in care

.Este evident ca x>y.Ecuatia are o infinitate de solutii in multimea "R,>0" si deci trebuie gasita relatia intre p si q astfel incat "x" sa fie un numar natural.

[Citat] Ecuatia initiala se mai scrie sub forma si care este o ecuatie de forma in care .Este evident ca x>y.Ecuatia are o infinitate de solutii in multimea "R,>0" si deci trebuie gasita relatia intre p si q astfel incat "x" sa fie un numar natural.

Forma lui y(y+1)(y+2)(y+3) este prea speciala ca sa fie doar notata printr-un q. De preferat de exemplu, ca ecuatia sa fie scrisa

Domnul Pitagora, aveti dreptate cu solutia aceea. Eu nu am fost suficient de atent, am luat aleator cateva descompuneri si am crezut ca e un lucru sigur ce voi scrie. Totusi un sambure de adevar este in ceea ce am scris. Ca o corectare sa zic asa la punctul A, gasim un factor prim (cel mai mare) care este 1/n din unul din numerele x-1, x, x+1, iar acest factor trebuie sa se gaseasca in descompunerea y(y+1)(y+2)(y+3). Poate ca de aici, rezolvarea prin aceasta metoda sa se complice si trebuie cautata o alta.

Intr-adevar o problema interesanta.

[Citat] [Citat] Ecuatia initiala se mai scrie sub forma si care este o ecuatie de forma in care .Este evident ca x>y.Ecuatia are o infinitate de solutii in multimea "R,>0" si deci trebuie gasita relatia intre p si q astfel incat "x" sa fie un numar natural. Forma lui y(y+1)(y+2)(y+3) este prea speciala ca sa fie doar notata printr-un q. De preferat de exemplu, ca ecuatia sa fie scrisa

Alta varianta de rationament:facem substitutia x=my+n unde m,n sunt numere intregi astfel incat x>y;se obtine astfel o ecuatie de gradul 4 in "y" cu parametrii "m" si "n" iar "y" trebuie sa fie divizor al termenului liber al acestei ecuatii de gradul 4 in "y" care este [n-(n^3)].

[Citat] 2. O problema interesanta: sa se determine toate numerele naturale x, pentru care exista un numar natural, y, astfel incat (x-1)x(x+1)=y(y+1)(y+2)(y+3). Seamana putin (ca scriere!) cu ce s-a propus, dar .. e altceva! Chiar m-ar interesa o rezolvare!

In produsul

exista in mod cert:

A. un factor prim care este

, din unul din numerele

, care trebuie sa se gaseasca in descompunerea

;

B. doi factori primi

si

care sunt chiar numerele

(impare), care se regasesc in descompunerea in factori primi ai produsului

.

In cazul B nu avem solutii deoarece:

Daca

si

sunt prime putem avea:
a)

si

. Rezulta:

echiv.

, ecuatie care are

, q prim, care nu poate fi patrat perfect.

SAU

b)

si

. Rezulta:

echiv.

, ecuatie care are

, q prim, care nu poate fi patrat perfect.

In cazul A, scris condensat putem avea urmatoarele subcazuri (in afara de solutia separata x=1, y=0, care corespunde pentru k=0), am considerat si k=1 prim:

a)

. Obtinem functie de m urmatoarele ecuatii de grad 3:
pentru m=0:

.
pentru m=1:

.
pentru m=2:

.
pentru m=3:

.

b)

. Obtinem functie de m urmatoarele ecuatii de grad 3:
pentru m=0:

.
pentru m=1:

.
pentru m=2:

.
pentru m=3:

.

c)

. Obtinem functie de m urmatoarele ecuatii de grad 3:

pentru m=0:

.
pentru m=1:

.
pentru m=2:

.
pentru m=3:

.

In cazul A trebuie cautate k prim si n natural care sa verifice oricare din aceste ecuatii (fiecare set de ecuatii cu conditiile suplimentare specificate).
O exprimare mai corecta ar fi: pentru un n natural fixat pentru toate aceste ecuatii, se cauta radacini k - prime printre divizorii termenului liber, termen liber care depinde de n.

Solutia indicata de Domnul Pitagora apartine ecuatiei

, adica:

. Ce este interesant! Aceasta solutie se obtine cand termenul liber al ecuatiei 9.) se anuleaza. Ecuatia nu se imparte cu k, ci in aceasta situatie (cand valoarea lui n anuleaza termenul liber al ecuatiei de gradul 3), se considera ca termen liber coeficientul lui k (care in cazul nostru este 38), iar radacina se cauta printre divizorii primi ai acestui coeficient. (In mod normal ar trebui impartita ecuatia cu k, si se obtine o ecuatie de grad 2 in k, cu termenul liber 11+3n^2).
Aceasta problema este interesanta tocmai pentru acest fapt!