Cum demonstram :
daca (a,b)interval nevid,si a=/b(a diferit de b)at exista o infinitate de nr rationale cat si irat. in (a,b) ??.

[Citat] Cum demonstram : daca (a,b)interval nevid,si a=/b(a diferit de b)at exista o infinitate de nr rationale cat si irat. in (a,b) ??.

Indicatii:

1. Este suficient sa demonstram ca intre oricare doua numere reale exista un numar rational si un numar irational.

2. Date fiind a<b numere reale, conform axiomei lui Arhimede (sau altfel spus faptului ca exista partea intreaga a unui numar real) exista n natural astfel incat

3. Continuand ideea de la 2. se arata ca exista m numar intreg astfel incat

4. Intre oricare doua numere rationale p<q exista numarul irational

[Citat] [Citat] Cum demonstram : daca (a,b)interval nevid,si a=/b(a diferit de b)at exista o infinitate de nr rationale cat si irat. in (a,b) ??. Indicatii: 1. Este suficient sa demonstram ca intre oricare doua numere reale exista un numar rational si un numar irational. 2. Date fiind a<b numere reale, conform axiomei lui Arhimede (sau altfel spus faptului ca exista partea intreaga a unui numar real) exista n natural astfel incat 3. Continuand ideea de la 2. se arata ca exista m numar intreg astfel incat 4. Intre oricare doua numere rationale p<q exista numarul irational

Interesant, dar academic !!?!
Aseara redactam o rezolvare ... umana a problemei, a intervenit CINEVA pe FIR, cred ca un administrator, si cand am trimis solutia, m-am trezit ca am pierdut autentificarea! Cine e de vina?
Cand voi mai avea timp, voi rescrie o demonstratie mai accesibila; ceee ce propune Pitagora este ... asa cum am spus mai sus.

[Citat] ...m-am trezit ca am pierdut autentificarea!...

Dupa autentificare, dupa ce am redactat un raspuns mai lung (poate a durat o jumatate de ora, nu stiu exact) si am trimis raspunsul, imi cerea o noua autentificare, astfel ca tot ce redactasem se pierduse. (Se poate ca dupa un timp mai indelungat automat sa se ceara o noua autentificare, sau poate e un fenomen aleator, nu stiu, dar ca masura de precautie se poate urma sfatul de mai jos).

Sfat: dupa redactare, selectati cu mouse-ul tot textul, dati Ctrl+C(Copy) si trimiteti apoi raspunsul. Daca va cere o noua identificare, intrati din nou unde doriti sa postati raspunsul si dati Ctrl+V(Paste). Astfel nu va irositi timpul si nici ideile.

Imi pare rau ca nu am facut aceasta observatie mai repede, sper sa fie utila de acum inainte.

[Citat] [Citat] ...m-am trezit ca am pierdut autentificarea!... Dupa autentificare, dupa ce am redactat un raspuns mai lung (poate a durat o jumatate de ora, nu stiu exact) si am trimis raspunsul, imi cerea o noua autentificare, astfel ca tot ce redactasem se pierduse. (Se poate ca dupa un timp mai indelungat automat sa se ceara o noua autentificare, sau poate e un fenomen aleator, nu stiu, dar ca masura de precautie se poate urma sfatul de mai jos). Sfat: dupa redactare, selectati cu mouse-ul tot textul, dati Ctrl+C(Copy) si trimiteti apoi raspunsul. Daca va cere o noua identificare, intrati din nou unde doriti sa postati raspunsul si dati Ctrl+V(Paste). Astfel nu va irositi timpul si nici ideile. Imi pare rau ca nu am facut aceasta observatie mai repede, sper sa fie utila de acum inainte.

Si eu am patit-o de mai multe ori. Sigur, dupa cateva minute de redactare la raspunsuri, e nevoie de o noua logare, asa ca si eu acum folosesc strategia din sfatul de mai sus!

E clar ca e suficient sa aratam ca in orice interval de numere reale exista un numar rational si unul irational.
Fie

o aproximare prin lipsa a lui

, astfel ca ultima zecimala a lui

sa fie diferita de zecimalele de acelasi rang ale lui

si

, si

.
Avem:

si

PS: Desi nu era nevoie, am batut aici un apropo la o problema mult discutata aici referitoare la irationalitatea acelui numar cu care se pare ca nu se impaca domnul FERMAT(citit invers!)
Puteam gasi multe forme pentru

, de exemplu:

a carui irationalitate se poate demonstra la fel de usor ca si a celuilalt.