Sa se gaseasca un triunghi pitagoreic ale carui laturi sunt numere ale lui Fibonacci.

[Citat] Sa se gaseasca un triunghi pitagoreic ale carui laturi sunt numere ale lui Fibonacci.

Daca ai vrut sa spui numere consecutive din sirul lui Fibonaci, oricat am cauta nu avem cum sa le gasim! Nu exista!
Din

si

dupa ce ridicam la patrat prima relatie si o inlocuim pe a doua in cea obtinuta, obtinem

iar aceasta nu poate avea loc daca

si

sunt laturi ale triunghiului.(

- laturile triunghiului)

Daca trei numere alese din sirul lui Fibonacci,in ordine crescatoare,sunt a,b,c atunci c este mai mare sau egal decat a+b.Inseamna ca aceste numere nu pot reprezenta laturile unui triunghi,deoarece intr-un triunghi suma a doua laturi este intotdeauna mai mare decat latura a treia.Deci numerele alese nu sunt consecutive in sir...

[Citat] Daca trei numere alese din sirul lui Fibonacci,in ordine crescatoare,sunt a,b,c atunci c este mai mare sau egal decat a+b.Inseamna ca aceste numere nu pot reprezenta laturile unui triunghi,deoarece intr-un triunghi suma a doua laturi este intotdeauna mai mare decat latura a treia.Deci numerele alese nu sunt consecutive in sir...

Deci e vorba de trei numere oarecare din sirul lui Fibonacci? Cred ca trebuia specificat in enunt.

Sirul lui Fibonacci este particularizarea sirului urmator, unde c1=1 si c2=1
(sunt scrise termenii pe verticala pentru o vizualizare mai buna)
0+c1=1
0+c2=1
c1+c2=2
c1+2c2=3
2c1+3c2=5
3c1+5c2=8
5c1+8c2=13
8c1+13c2=21
...

- reprezinta laturile unui triunghi dreptunghic daca sunt de forma:

, unde s>t>0, s,t naturale
(astfel se pot gasi oricare trei numere pitagoreice).

Se observa ca z>y, z>x oricare ar fi s>t>0, s,t naturale
Deci pot aparea situatiile z>y>x sau z>x>y (situatii care nu afecteaza rezultatul, primul caz insemnand ca termenul x s-ar gasi inaintea lui y in sir, iar al doilea invers, y inaintea lui x, iar z in urma amandurora).

Problema ne cere sa gasim trei termeni ai sirului astfel incat:

m,n,p,q,u,v naturale (dependente unele de altele).
Adunam membru cu membru si inlocuim c1=1 si c2=1.
Rezulta

echiv.

Perechile (m + n), (p + q), (u + v) sunt de forma (impar, impar), (impar, par), (par, impar), niciodata (par, par), deci membrul stang va fi intotdeauna impar, pe cand membrul drept este par (multiplu de 2).

Rezulta ca nu exista 3 termeni ai sirului care sa reprezinte laturile unui triunghi dreptunghic.

[Citat] Perechile (m + n), (p + q), (u + v) sunt de forma (impar, impar), (impar, par), (par, impar), niciodata (par, par), deci membrul stang va fi intotdeauna impar, pe cand membrul drept este par (multiplu de 2).

"...deci membrul stang va fi intotdeauna impar..." Afirmatia nu e adevarata (nimeni nu ma corecteaza :P ), deci nu e rezolvata problema inca.

Completare:

Presupunem prin absurd ca exista f1, f2, f3, termeni oarecare ai sirului Fibonacci, astfel incat sa fie laturile unui triunghi dreptunghic.
Rezulta f1, f2, f3 sunt de forma:

, unde s>t>0, s,t naturale

echiv.

echiv

, adevarata pentru orice
s,t naturale.
Rezulta ca toate elementele sirului formeaza triunghiuri dreptunghice, ceea ce este absurd.