[Citat] [Citat] In numere complexe, puterile nu au valoare unica. Un exemplu simplu este care poate fi considerat 1+i dar si -1-i. Motivul este ca nu exista nu mod de a deosebi intre numerele 1+i si -1-i.Ceea ce a scris MrlDEessvsEm intr-un mesaj precedent este corect. Toate acele numere sunt . Nu inteleg!Asa cum sunt date valorile rezulta ca toate numerele naturale sau rationale sunt egale intre ele.Cum adica 1+i si -1-i nu sunt numere deosebite? Ce valoare are cos{[pi(2k+1)]/2}i unde pi=3,14...si i=sqrt(-1)? Pentru ce valori ale lui a,b,c,d numere reale a+bi=c+di unde i=sqrt(-1)?

In multimea numerelor complexe, adunarea/scaderea si inmultirea/impartirea sunt operatii bine definite. Operatia de trecere la putere este binedefinita doar pentru puteri intregi. In cazul puterilor

nu exista rezultat unic ci o familie de rezultate.

Modul in care trebuie sa integeleti exemplul meu dintr-un mesaj precedent este

. De altfel se invata chiar in liceu ca radacina de ordinul n a unui numar complex are de fapt n valori posibile.

[Citat] [Citat] [Citat] In numere complexe, puterile nu au valoare unica. Un exemplu simplu este care poate fi considerat 1+i dar si -1-i. Motivul este ca nu exista nu mod de a deosebi intre numerele 1+i si -1-i.Ceea ce a scris MrlDEessvsEm intr-un mesaj precedent este corect. Toate acele numere sunt . Nu inteleg!Asa cum sunt date valorile rezulta ca toate numerele naturale sau rationale sunt egale intre ele.Cum adica 1+i si -1-i nu sunt numere deosebite? Ce valoare are cos{[pi(2k+1)]/2}i unde pi=3,14...si i=sqrt(-1)? Pentru ce valori ale lui a,b,c,d numere reale a+bi=c+di unde i=sqrt(-1)? In multimea numerelor complexe, adunarea/scaderea si inmultirea/impartirea sunt operatii bine definite. Operatia de trecere la putere este binedefinita doar pentru puteri intregi. In cazul puterilor nu exista rezultat unic ci o familie de rezultate. Modul in care trebuie sa integeleti exemplul meu dintr-un mesaj precedent este . De altfel se invata chiar in liceu ca radacina de ordinul n a unui numar complex are de fapt n valori posibile.

Eu sunt de-acord ca

,dar nu sunt de-acord cu afirmatia ca 1+i nu este deosebit de -1-i.Exemplul dvs.nu este relevant in cazul

,unde

.
Eu cred ca i^i=cosh{[(pi)(2k+1)]/2}+isinh{[(pi)(2k+1)]/2},unde (pi)=3,14...si i=sqrt(-1),iar k are valorile 0 si/sau 1.Rezulta imediat ca i^i este un numar complex.
In multimea numerelor complexe eu cred ca operatia de trecere la putere are sens si este bine definita pentru puteri reale.
De exemplu i^[sqrt(3)]=cos{[(pi)sqrt(3)]/2}+isin{[(pi)sqrt(3)]/2},unde
(pi)=3,14...si i=sqrt(-1).Verificati va rog si sper ca eu sa nu fi gresit!?!?

Cateva precizari legate de analiza complexa:

1.Operatiile algebrice cu numere complexe in forma algebrica pastreaza toate proprietatile din R, cu o singura exceptie: in C nu avem o relatie de ordine (la fel ca in R^2).
2.In planul complex unele proprietati din real nu se pastreaza.
- De exemplu in cazul limitei functiilor reale, x tinde catre un x0 pe axa reala, in cazul functiilor complexe, z tinde catre z0 pe toate drumurile posibile din C.
- O proprietate pe care nu o intalnim in R este legata de functia exponentiala complexa (e^z) care este periodica de perioada 2*(pi)*i, deci nu este injectiva.
-Imaginea functiilor cos si sin din real care este intervalul [-1, 1], nu se mai pastreaza in cazul complex.
- Functiile elementare: f.radical, f.logaritm, f.putere cu exponent complex,etc. sunt extinderi la planul complex ale functiilor reale si se definesc ca inverse ale functiei putere, functiei exponentiale,...Dificultatile care apar se datoreaza faptului ca aceste functii nu sunt injective, daca incercam definirea inversei lor, unei valori "a" ii vor corespunde 2,3,... chiar o infinitate de valori z1,z2,... pentru care f(z_k) = a.

De ex. e^[2n(pi)i]=1, n intreg.
Rezulta valorii a=1 ii corespund prin functia inversa o infinitate de valori z_k=2k(pi)i, k din Z, ceea ce nu corespunde notiunii obisnuite de functie, care pretinde ca unei valori din domeniul de definitie ii corespunde o singura valoare din codomeniu. Suntem in cazul functiilor multiforme. O ramura a unei functii multiforme poate fi facuta ramura uniforma (adica functie in sens obisnuit) prin intermediul unei conventii privind sensul de parcurgere al domeniului de definitie. Etc.


Pentru x - real sunt valabile relatiile lui Euler:

Pentru z - complex sunt valabile relatiile lui Euler:

este de forma

- un numar complex la alt numar complex.

z=0+i*1=cos(t)+i*sin(t)
t=2k(pi)+(pi)/2, k intreg
Scriind formulele lui Euler pentru t - real, rezulta:
cos(t)+i*sin(t) = e^(it)
In cazul general este cunoscuta formula z=r*e^(it) - adica forma numarului complex z in coordonate polare.
Inlocuind rezulta i^i=[e^(it)]^i=e^(i^2*t)=e^(-t), adica i^i este real, avand o infinitate de valori pentru k intreg.

Altfel:
i^i=[cos(t)+i*sin(t)]^i=cos(it)+i*sin(it)
Notam z'=it si aplicam formulele lui Euler pentru z'=it - complex, rezulta:
cos(it)+i*sin(it)=cos(z')+i*sin(z')=[e^(iz')+e^(-iz')]/2 + i*[e^(iz')-e^(-iz')]/(2*i)=e^(iz')
Rezulta i^i=e^(iz')=e^[i*(it)]=e^(i^2*t)=e^(-t), adica i^i este real.

Am comis o eroare grava!Rectific:Eu cred ca i^i=cosh{[(pi)(2k+1)]/2}-sinh{[(pi)(2k+1)]/2},unde (pi)=3,14...si i=sqrt(-1).Deci i^i este un numar real.
.....................................................................
Se pune evident intrebarea cat este valoarea lui k?Mi se pare absurd sa se spuna ca i^i,care evident rezulta ca fiind un numar real,sa aiba o infinitate de valori!?!Deci ar rwzulta ca i^i=e^[-(pi)/2]=e^[-(3pi)/2]=.....Mie imi pare absurd.Ca atare cred ca prin conventie ar trebui sa consideram ca
i^i=e^[-(pi)/2]asa cum prin conventie consideram ca e^[i(pi)]=-1.

[Citat] Am comis o eroare grava!Rectific:Eu cred ca i^i=cosh{[(pi)(2k+1)]/2}-sinh{[(pi)(2k+1)]/2},unde (pi)=3,14...si i=sqrt(-1).Deci i^i este un numar real. ..................................................................... Se pune evident intrebarea cat este valoarea lui k?Mi se pare absurd sa se spuna ca i^i,care evident rezulta ca fiind un numar real,sa aiba o infinitate de valori!?!Deci ar rwzulta ca i^i=e^[-(pi)/2]=e^[-(3pi)/2]=.....Mie imi pare absurd.Ca atare cred ca prin conventie ar trebui sa consideram ca i^i=e^[-(pi)/2]asa cum prin conventie consideram ca e^[i(pi)]=-1.

La fel cum nu exista nici o conventie care sa stabileasca o valoare UNICA a lui

intre 1+i si -1-i, nu exista nici o conventie care sa stabileasca o valoare UNICA a lui

.

Ce ar trebui inteles este faptul ca pentru

nu exista o valoare unica a lui

ci o familie de valori.

[Citat] [Citat] Am comis o eroare grava!Rectific:Eu cred ca i^i=cosh{[(pi)(2k+1)]/2}-sinh{[(pi)(2k+1)]/2},unde (pi)=3,14...si i=sqrt(-1).Deci i^i este un numar real. ..................................................................... Se pune evident intrebarea cat este valoarea lui k?Mi se pare absurd sa se spuna ca i^i,care evident rezulta ca fiind un numar real,sa aiba o infinitate de valori!?!Deci ar rwzulta ca i^i=e^[-(pi)/2]=e^[-(3pi)/2]=.....Mie imi pare absurd.Ca atare cred ca prin conventie ar trebui sa consideram ca i^i=e^[-(pi)/2]asa cum prin conventie consideram ca e^[i(pi)]=-1. La fel cum nu exista nici o conventie care sa stabileasca o valoare UNICA a lui intre 1+i si -1-i, nu exista nici o conventie care sa stabileasca o valoare UNICA a lui . Ce ar trebui inteles este faptul ca pentru nu exista o valoare unica a lui ci o familie de valori.

Stimate Domn,se stie ca e^{i[(2k+1)pi]}=-1 pentru k=0,1,2,3,...,n,(n+1,....
In cazul problemei date este absurd sa consideram ca i^i=e^[-(pi)/2]=
=e^[-(3pi)/2]=.....pentru ca,repet,i^i care este numar real nu poate avea o infinitate de valori.Daca problema avea enuntul:"Sa se rezolve ecuatia
x-i^i=0",atunci in acest caz este cert ca exista o infinitate de solutii.
In concluzie in cazul problemei propuse de mine ori nu are niciun sens sa vorbim despre o valoare a lui i^i ori facem conventia ca i^i=e^[-(pi)/2].

[Citat] In cazul problemei date

Am mai facut odata acest comentariu: problema necesita cunostiinte de analiza complexa de anul II de facultate. Si nu ma refer la dificultatea ei ci la faptul ca avem nevoie de definitia puterii complexe

care se introduce la acest nivel.

[Citat] i^i care este numar real nu poate avea o infinitate de valori.

De ce este i^i neaparat UN numar real? Pe baza carei definitii?

[Citat] In concluzie in cazul problemei propuse de mine ori nu are niciun sens sa vorbim despre o valoare a lui i^i ori facem conventia ca i^i=e^[-(pi)/2].

Cam incercam sa reinventam roata. Ca sa putem calcula i^i ne trebuie DEFINITIA lui

pentru a si b numere complexe. Or aceasta definitie exista si nu vad de ce am face noi conventii aici. Mai indic odata referinta
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Complex_power_of_a_complex_number
unde se prezinta foarte pe scurt ideile si problemele legate de aceasta definitie. Imi pare rau, dar nu am timpul sa scriu in limba romana acele explicatii. Calculele lui MrlDEessvsEm dintr-un post de mai sus urmeaza aceasta definitie. Este suficient sa remarcam ca nu exista o cale de a da lui t din acele calcule o valoare unica. Exista o asa numita valoare principala, dar nu avem UNICITATE. Din diverse motive nu putem sa renuntam la celelalte valori.

[Citat] [Citat] In cazul problemei date Am mai facut odata acest comentariu: problema necesita cunostiinte de analiza complexa de anul II de facultate. Si nu ma refer la dificultatea ei ci la faptul ca avem nevoie de definitia puterii complexe care se introduce la acest nivel. [Citat] i^i care este numar real nu poate avea o infinitate de valori. De ce este i^i neaparat UN numar real? Pe baza carei definitii? [Citat] In concluzie in cazul problemei propuse de mine ori nu are niciun sens sa vorbim despre o valoare a lui i^i ori facem conventia ca i^i=e^[-(pi)/2]. Cam incercam sa reinventam roata. Ca sa putem calcula i^i ne trebuie DEFINITIA lui pentru a si b numere complexe. Or aceasta definitie exista si nu vad de ce am face noi conventii aici. Mai indic odata referinta http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Complex_power_of_a_complex_number unde se prezinta foarte pe scurt ideile si problemele legate de aceasta definitie. Imi pare rau, dar nu am timpul sa scriu in limba romana acele explicatii. Calculele lui MrlDEessvsEm dintr-un post de mai sus urmeaza aceasta definitie. Este suficient sa remarcam ca nu exista o cale de a da lui t din acele calcule o valoare unica. Exista o asa numita valoare principala, dar nu avem UNICITATE. Din diverse motive nu putem sa renuntam la celelalte valori.

Daca i^i are o infinitate de valori reale (asa cum sutineti Dvs. si altii) sa inteleg acum ca i^i este o multime de numere reale diferite intre ele!?!?!????
Este foarte clar ca e^{i[(2k+1)(pi)]=-1 este un numar real indiferent de valoarea lui k=0,1,2,.....,n,...,dar in cazul i^i in http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Complex_power_of_a_complex_number,rezulta conventional doar valoarea e^[-(pi)/2].

[Citat] Daca i^i are o infinitate de valori reale (asa cum sutineti Dvs. si altii) sa inteleg acum ca i^i este o multime de numere reale diferite intre ele!?!?!???? Este foarte clar ca e^{i[(2k+1)(pi)]=-1 este un numar real indiferent de valoarea lui k=0,1,2,.....,n,...,dar in cazul i^i in http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Complex_power_of_a_complex_number,rezulta conventional doar valoarea e^[-(pi)/2].

La sfarsitul paragrafului
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation#Computing_complex_powers
vedeti urmatoarea afirmatie:

The value of a complex power depends on the branch used. For example, if the polar form i = 1ei(5π/2) is used to compute i i, the power is found to be e−5π/2; the principal value of i i, computed above, is e−π/2.