Sa se dem.ca numarul:

multimea numerelor naturale este infinita, deci se pot scrie numere oricat de mari (de ex. cu oricate cifre de 0,1,2,... sau cu oricate numere consecutive).

presupunem ca numarul 0.1234567891011121314... este rational, adica periodic,
fie aceasta perioada de forma (a1a2a3...ak...an), n natural - cu un numar finit de termeni. Rezulta ca intre pozitiile de acelasi rang ak a 2 perioade consecutive vor fi a_n-1 termeni, deci tot un numar finit. Rezulta contradictia cu alegerea numerelor oricat de mari. In concluzie 0.1234567891011121314... este irational.

[Citat] multimea numerelor naturale este infinita, deci se pot scrie numere oricat de mari (de ex. cu oricate cifre de 0,1,2,... sau cu oricate numere consecutive). presupunem ca numarul 0.1234567891011121314... este rational, adica periodic, fie aceasta perioada de forma (a1a2a3...ak...an), n natural - cu un numar finit de termeni. Rezulta ca intre pozitiile de acelasi rang ak a 2 perioade consecutive vor fi a_n-1 termeni, deci tot un numar finit. Rezulta contradictia cu alegerea numerelor oricat de mari. In concluzie 0.1234567891011121314... este irational.

Banuiesc ca aveti ideea corecta, dar modul de expunere este un pic defectuos si nu cred ca majoritatea cititorilor inteleg ideea. Poate incercati sa reformulati.

[Citat] [Citat] multimea numerelor naturale este infinita, deci se pot scrie numere oricat de mari (de ex. cu oricate cifre de 0,1,2,... sau cu oricate numere consecutive). presupunem ca numarul 0.1234567891011121314... este rational, adica periodic, fie aceasta perioada de forma (a1a2a3...ak...an), n natural - cu un numar finit de termeni. Rezulta ca intre pozitiile de acelasi rang ak a 2 perioade consecutive vor fi a_n-1 termeni, deci tot un numar finit. Rezulta contradictia cu alegerea numerelor oricat de mari. In concluzie 0.1234567891011121314... este irational. Banuiesc ca aveti ideea corecta, dar modul de expunere este un pic defectuos si nu cred ca majoritatea cititorilor inteleg ideea. Poate incercati sa reformulati.

Aveti dreptate. Nu am gasit exprimarea cea mai adecvata. Incerc sa reformulez

{Voi incepe cu putina teorie legata de numerele rationale/irationale
Fractiile zecimale pot fi
1.finite
2.infinite a.periodice simple cu perioada diferita de 9 sau mixte
b.neperiodice
1. si 2a. reprezinta numere rationale din care provin prin algoritmul de impartire.
2b. O fractie zecimala infinita neperiodica este un numar irational.}

Numarul 0.1234567891011... are dupa virgula numere naturale consecutive (in ordine crescatoare).
Multimea numerelor naturale este infinita, adica oricare ar fi M natural, exista M+1 natural obtinut din numarul precedent M la care se aduna 1.(putem deci obtine numere oricat de mari, cu oricate cifre).

Presupunem ca numarul 0.1234567891011... este rational (consideram cazul periodic simplu, in celelalte cazuri se rationeaza la fel).
Notam perioada finita cu (a1a2a3...an-1an), in caz contrar numarul ar fi infinit neperiodic = irational, formata din n cifre (sau numere) a1,a2,a3,...,an-1,an.
Numarul va avea forma:

0.(a1a2a3...an-1an)=0.a1a2a3...an-1ana1a2a3...an-1ana1a2a3...an-1ana1a2a3...

Rezulta ca luand orice secventa de n+1 cifre (numere), de ex. a1a2a3...an-1ana1 sau a2a3a4...ana1a2 sau ... sau ana1a2...an-1an sau ..., (orice secventa care incepe si se termina cu a1 sau a2 sau ... sau an), niciuna nu va putea contine un numar natural cu cel putin n+2 cifre (finit), adica ar rezulta ca multimea numerelor naturale s-ar termina cu numerele de maximum n+1 cifre (finite), ceea ce este absurd. Presupunerea este falsa.

Sper sa fie un raspuns mai reusit. Poate cineva gaseste un raspuns mai concis, ori mai elegant.

Nu sunt prea lamurit cu rezolvarea precedenta, desi pare sa aiba o ... idee; cred ca autorul rezolvarii nu a luat in considerare faptul ca perioada poate sari peste ordinul de marime (de ex de la mii la zeci de mii) si atunci .... lucrurile se complica! Dar ideea poate fi dezvoltata si ... cred ca poate da roade!
Daca numarul ar fi rational, ar fi periodic; fie n numarul de cifre din perioada. Dupa regula de construire a numarului: 1) in perioada, ipotetica, avem cel putin o cifra nenula (In caz contrar, multimea numerelor naturale s-ar scurta cam tare!); 2) Numerele de forma z=10.....0, cu oricate zerouri (dar in numar finit!) sunt secvente din numarul dat.
Fie z0 cel mai mare numar de forma 10....0 care este in partea neperiodica, are cel putin n cifre si z1=z0*z0 (asa, pentru exagerare!). Este evident ca z1 are mai mult de 3n cifre (perioada ipotetica fiind, vizual, mai mare ca 3). Daca vom elimina primele si ultimile n cifre din z1, ramanem cu o secventa de n zerouri in care perioada nu-si gaseste locul! Daca luam mai putine cifre din prima parte a lui z1 (considerand ca perioada incepe mai in fata!), ne raman si mai multe zerouri.
Cum z1 este o secventa din numarul dat si in el nu putem implementa perioada, rezulta ca perioada nu exista, deci numarul nu este periodic, asadar este irational.
Intrebari suplimentare: 1)Este acest numar un numar algebric? Adica exista o ecuatie cu coeficienti ratioanli care sa aiba ca solutie numarul propus? 2) Se pot calcula numerele 2n, 3n, n*n sau R(n) (radacina patrata a lui n)?

Succes in noul an scolar

Cum numarul dat are, evident, o infinitate de zecimale, el aeste rational numai daca este periodic. Fie

perioada sa, cu

.Evident, cel putin o cifra a perioadei este nenula.
Printre numerele naturale, exista insa si numere cu mai mult de n zerouri consecutive, deci perioada nu poate avea n cifre, adica nu poate exista.

[Citat] Cum numarul dat are, evident, o infinitate de zecimale, el aeste rational numai daca este periodic. Fie perioada sa, cu .Evident, cel putin o cifra a perioadei este nenula. Printre numerele naturale, exista insa si numere cu mai mult de n zerouri consecutive, deci perioada nu poate avea n cifre, adica nu poate exista.

Care-i noutatea fata de cele spuse inainte? Vorbim ca sa ne aflam in treaba? Ma asteptam la mai mult!!!
Dar, nu intotdeauna ni se intampla ceea ce dorim!
Numai bine,

[Citat] ...perioada poate sari peste ordinul de marime (de ex de la mii la zeci de mii) si atunci .... lucrurile se complica!

Sa inteleg ca va referiti ca o perioada poate fi considerata si ca "n" perioade succesive? Atunci aveti dreptate, eu tratand cazul n=1.

[Citat] Care-i noutatea fata de cele spuse inainte? Vorbim ca sa ne aflam in treaba? Ma asteptam la mai mult!!! Dar, nu intotdeauna ni se intampla ceea ce dorim! Numai bine,

Noutatea consta in exprimare.Mai putine cuvinte si mai usor de inteles!

[Citat] Intrebari suplimentare: 1)Este acest numar un numar algebric? Adica exista o ecuatie cu coeficienti ratioanli care sa aiba ca solutie numarul propus? 2) Se pot calcula numerele 2n, 3n, n*n sau R(n) (radacina patrata a lui n)?

2.Cred ca se poate vorbi doar de un calcul aproximativ, fiind un numar irational (cum s-a demonstrat), avand dupa virgula o infinitate de zecimale; din numarul n=0,123456789...(p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)(p+3)... retinem primele p zecimale, notam
N=0,123456789...(p-2)(p-1)p
Astfel putem calcula numerele 2N,3N,...,N*N,R(N), ca fiind aproximarile(aici prin lipsa) ale numerelor 2n,3n,...,n*n,R(n). Apoi putem evalua eroarea produsa pentru fiecare in parte,
de ex. pentru 3n, va fi: e<3*0,00000...0(p zerouri)(p+2), e<3*(p+2)*10^(-p-1).

Completare:
1.Echivalent cu exista a_i rationale, i=0,1,2,...,k, a_k diferit de 0, a.i.
a_k*n^k+a_(k-1)*n^(k-1)+...+a_2*n^2+a_1*n+a_0=0.
Presupunand ca exista obtinem nr.irational=nr.rational. Deci nu exista o astfel de ecuatie.

[Citat] [Citat] Intrebari suplimentare: 1)Este acest numar un numar algebric? Adica exista o ecuatie cu coeficienti ratioanli care sa aiba ca solutie numarul propus? 2) Se pot calcula numerele 2n, 3n, n*n sau R(n) (radacina patrata a lui n)? 2.Cred ca se poate vorbi doar de un calcul aproximativ, fiind un numar irational (cum s-a demonstrat), avand dupa virgula o infinitate de zecimale; din numarul n=0,123456789...(p-2)(p-1)p(p+1)(p+2)(p+3)... retinem primele p zecimale, notam N=0,123456789...(p-2)(p-1)p Astfel putem calcula numerele 2N,3N,...,N*N,R(N), ca fiind aproximarile(aici prin lipsa) ale numerelor 2n,3n,...,n*n,R(n). Apoi putem evalua eroarea produsa pentru fiecare in parte, de ex. pentru 3n, va fi: e<3*0,00000...0(p zerouri)(p+2), e<3*(p+2)*10^(-p-1). Completare: 1.Echivalent cu exista a_i rationale, i=0,1,2,...,k, a_k diferit de 0, a.i. a_k*n^k+a_(k-1)*n^(k-1)+...+a_2*n^2+a_1*n+a_0=0. Presupunand ca exista obtinem nr.irational=nr.rational. Deci nu exista o astfel de ecuatie.

Nu m-ai lamurit cu nimic:
1. Primele p zecimale au forma propusa de tine numai pentru p mai mic ca 10. Mai departe, numarul nu se mai continua cu secventa p-2, p-1, p decat .... rar! Verifica! (0,1234567891011121314..... si nu mai ai numere consecutive!!!)
2. Incearca sa adaptezi demonstratia ta ca numarul in discutie nu este algebric pentru R(2) (radical din 2)! Functioneaza? Evident ca nu, gasind ecuatia x^2-2=0, adica x^2=2. Desi x (=R(2)) este irational, patratul lui este rational si avem, folosind exprimarea ta, rational=rational!
3. Incerca mai multa profunzime; nu orice problema se rezolva ... din prima!
Numai bine!