Sa se determine a apartinand lui R pt care exista x,y apartinand lui Z astfel incat

luam separat cazul x=y=0, pentru care a=0.

in rest:
din prima ecuatie rezulta y=x-(a/x).
cum x si y trebuie sa fie intregi rezulta si a intreg si a/x intreg rezulta a=kx, k intreg diferit de 0.
rezulta: x=a/k si y=x-k=(a/k)-k.
inlocuind pe x si y sub aceste forme in a 2-a ecuatie rezulta ec. de gradul 2 in a: (3-k^2)*a^2-5k^2*a+2k^4=0
delta = 25k^4-4*(3-k^2)*2k^4=25k^4-24k^4+8k^6=k^4+8k^6
rezulta radacinile:
a1=[5k^2+k^2*radical(1+8k^2)]/[2*(3-k^2)]
dam factor un k pentru a scrie radacina sub forma a1=k*x1:
a1=k*[5k+k*radical(1+8k^2)]/[2*(3-k^2)]
la fel procedam ptru a2:
a2=k*[5k-k*radical(1+8k^2)]/[2*(3-k^2)]=k*x2

a1 si a2 sunt solutii daca x1 si x2 sunt intregi, adica sunt indeplinite conditiile:

1.pentru a1: 1+8k^2 cu k intreg diferit de 0 este patrat perfect si [5k+k*radical(1+8k^2)] se divide prin [2*(3-k^2)];
2.pentru a2: 1+8k^2 cu k intreg diferit de 0 este patrat perfect si [5k-k*radical(1+8k^2)] se divide prin [2*(3-k^2)].

k=1, k=-1, k=6, k=-6 verifica conditiile conducand la solutiile:
(2,1), (-2,-1), (2,8), (-2,-8).

Nu stiu daca mai exista si alte solutii.

multumesc foarte mult ca mi-ai rezolvat !!!

Se observa imediat ca x si y nu depinde de a deoarece putem scrie:
y(2y+x)=x^2(x-y)^2.Ca atare trebuie sa vedem daca exista numere intregi care verifica aceasta ecuatie in x si y.O solutie banala ar fi x=y=0 si evident in acest caz a=0.
Ecuatia de mai sus se mai scrie dupa puterile lui y astfel:
(2-x^2)y^2+(2x^3+x)y-x^4=0 iar discriminantul acestei ecuatii in y,
D=x^2(12x^2+1),trebuie sa fie un patrat perfect,adica 12x^2+1=b^2 unde b este un numar intreg.Aceasta ecuatie in x si b este o ecuatie de tip Pell a carei rezolvare este mai complicata.Am sa incerc sa o rezolv si am sa postez rezolvarea completa.Dupa ce gasim solutiile ecuatiei (2-x^2)y^2+(2x^3+x)y-x^4=0 putem stabili imediat toate valorile lui "a" care sunt cerute in problema.

daca a=0 atunci x=y=0.putem pres. ca a,x,y sunt diferite de 0.Impartim cele 2 relatii si obt.: [x^2(1-y/x)]/[y^2(2+x/y)]=1/a.Acum notam x/y=t(evident,daca x,y sunt intregi atunci t este din Q) si obtinem ec. in t: (t^2-t)/(2+t)=1/a care dupa unele calcule ne conduce la ec. de gradul 2 in t: a(t^2)-(a+1)t-2=0. calculam delta(d):d=a^2 +10a+1 care trebuie sa fie patrat perfect. Dar d=(a+5)^2-24=k^2.
Acum (a+5-k)(a+5+k)=24 de unde a+5-k=1 si a+5+k=24 sau a+5-k=2 si a+5+k=12 sau ...de unde se afla a