Avem o masa de biliard in forma de hexagon regulat.Presupunand ca este ideala din punctul de vedere al confectionarii, si ca jucatorul loveste mingea fara a-i imprima nici un pic de efect, sa se verifice ca un jucator poate lovi o minge(singura pe masa)situata in centrul mesei, astfel ca mingea sa atinga toate menzile(laturile mesei)cate o singura data si apoi sa treaca prin centrul mesei. In cate directii diferite poate trimite jucatorul mingea astfel ca aceasta sa se comporte in acest mod, si care sunt aceste directii?

[Citat] Avem o masa de biliard in forma de hexagon regulat.Presupunand ca este ideala din punctul de vedere al confectionarii, si ca jucatorul loveste mingea fara a-i imprima nici un pic de efect, sa se verifice ca un jucator poate lovi o minge(singura pe masa)situata in centrul mesei, astfel ca mingea sa atinga toate menzile(laturile mesei)cate o singura data si apoi sa treaca prin centrul mesei. In cate directii diferite poate trimite jucatorul mingea astfel ca aceasta sa se comporte in acest mod, si care sunt aceste directii?

Nu exista nici o astfel de directie.
Sa consideram un hexagon. Din motive de simetrie, se poate face studiul pe un "sector" de hexagon de 30 grade (a 12-a parte din masa de biliard), adica pe un triunghi dreptunghic cu unghiurile de 30,60,90 grade. Deci unghiul de lansare "u" poate fi cuprins intre (0;30)grade, corespunzator unghiul de incidenta va fi cuprins intre 90-u gr=(90;60)gr. Este evident ca pentru ca mingea sa treaca prin centrul mesei, unghiul de incidenta la ultima manta trebuie sa fie cuprins intre (60;90)gr. Studiind toate combinatiile favorabile (sunt doar cateva) ca mingea sa atinga toate menzile o singura data si utilizand relatiile: suma unghiurilor in triunghi=180gr, suma unghiurilor in patrulater=360gr si unghiul de incidenta = unghiul de "reflexie" se obtine unghiul de incidenta la ultima manta diferita de 90-u gr=(60;90)gr; (obtinem: 90+u sau 30+u sau u-30 sau -u-30 gr).

Problema ARE solutie! Incercati sa considerati latura lovita de bila ca fiind o oglinda....

Si urmariti apoi traseul ei din oglinda!

Dar matematic nu imi iese problema, poate am omis ceva. Sau am gresit la unele calcule. (Ceea ce am scris principial e bine?)

Incearca ceea ce ti-am sugerat mai sus, pas cu pas. Pe un desen cat mai corect!
Din ceea ce ai spus mai sus, am inteles ca ai ideea de pornire buna, o alta idee ( cea cu finalul traseului bilei) buna, dar restul rationamentului pe care incerci sa-l redai nu mi-e clar.

Urmand indicatia, obtinem solutie cand traseele bilei urmarite pe mantele ce urmeaza a fi lovite sunt toate in acelasi sens. Notand circular mantele cu 0,1,2,3,4,5, avem o solutie pe traseul centru-0-2-3-4-5-1-centru (pe 1/12 din masa - din motive de simetrie). Numarul total de solutii = 12*1=12.

[Citat] Urmand indicatia, obtinem solutie cand traseele bilei urmarite pe mantele ce urmeaza a fi lovite sunt toate in acelasi sens. Notand circular mantele cu 0,1,2,3,4,5, avem o solutie pe traseul centru-0-2-3-4-5-1-centru (pe 1/12 din masa - din motive de simetrie). Numarul total de solutii = 12*1=12.

Cred ca trebuie sa mai revezi traseul. Deseneaza un FAGURE DE ALBINE, si poti desena traseul pe el!

Corectez traseul:

Cu aceeasi notare circulara pentru menzi: 0,1,2,3,4,5:
traseul va fi(celelalte 11 se obtin prin rotatie): centru-0-2-4-1-5-3-centru.
In total sunt 12 solutii.
Unghiul la prima manta va fi:

, unde

, adica

[Citat] Corectez traseul: Cu aceeasi notare circulara pentru menzi: 0,1,2,3,4,5: traseul va fi(celelalte 11 se obtin prin rotatie): centru-0-2-4-1-5-3-centru. In total sunt 12 solutii. Unghiul la prima manta va fi: , unde , adica

Asta este!
PS: Cu atata perseverenta, cred ca reusesti sa te descurci si FOTONII!
Vad ca dispui si de timp liber! (Esti un om bogat!)