[Citat] In enunt se spune clar...patrulater inscriptibil!!!

Dar nu ar trebui aratat ca un patrulater cu laturile x,2x,3x,4x poate fi inscriptibil?
Eu la asta m-am chinuit mai mult!

[Citat] Eu am spus ca nu ai aratat ca patrulateru convex cu laturile date poate fi inscriptibil, nu ca patrulaterul inscriptibil este convex!

Ca sa nu se supere nimeni, adaug si problema urmatoare:
Sa se calculeze raza cercului in care poate fi inscris patrulaterul convex cu laturile

si

, demonstrandu-se mai intai existenta cercului respectiv.
PS:De ce oare nu putem spune ca s-ar simti bine in acel patrulater

furnici? Cu cat ar deranja prezenta ultimei pe celelalte

furnici? Astfel unababenaf nu ar mai avea motice sa spuna:

are autorul asta!

Raza cercului circumscris este (x/4)*sqrt(385/6)

[Citat] Raza cercului circumscris este (x/4)*sqrt(385/6)

OK! Dar existenta patrulaterului?
Ce cifra iti lipsea la raspunsul pe care l-ai dat prima data?

7
nu am vazut punctul pe displayul calculatorului
ultima furnik are un piciorus in afara ( sau dak e mai schioapa se simte si ea bine, desi nu vad cum , schioapa fiind)
existenta ... se lucreaza la ea

Chiar daca se supara aladar, eu zic sa spunem ca se simte bine si furnica ce nu incape decat cu 0,94 din intreg. Daca celelalte isi restrang cu 0,00000191877068 din suprafata care le este destinata, atunci a 489898-a furnica se va simti in largul ei. AVETI INIMA si fiti deacord!
Cat despre existenta patrulaterului, intuitiv s-ar parea ca e suficient sa existe patrulaterul cu laturile respective, ca modificind marimile unghiurilor il putem face inscriptibil.Deci ar trebui indeplinita doar conditia ca latura cea mai mare sa fie mai mica decat suma celorlalte trei. Dar aceasta nu este o demonstratie pe care sa o accepte un amator de matematica. Se poate demonstra ca patrulaterul convex cu laturile ca in problema, care sa fie si inscriptibil, este unic, mai putin cele ce se obtin prin rotatii in jurul centrului cercului sau simetrii fata de un diametru.

[Citat] Se poate demonstra ca patrulaterul convex cu laturile ca in problema, care sa fie si inscriptibil, este unic, mai putin cele ce se obtin prin rotatii in jurul centrului cercului sau simetrii fata de un diametru.

ASA E !
DA DE CE?

Am sa folosesc in loc de litera

pentru a exprima lungimile laturilor, litera

.
Se pune in primul rand, problema existentei patrulaterului. Pentru aceasta luam in considerare doua cazuri:
CAZUL I.
Notam cu

unghiurile la centru corespunzatoare laturilor patrulaterului, incepand cu latura cea mai mica.

Evident ca:

Din teorema cosinusului, obtinem:

unde am notat cu

raza cercului circumscris patrulaterului si

Din

Din formula fundamentala a trigonometriei, obtinem:

Obtinem succesiv:

Deoarece

membrul drept al ecuatiei

este negativ, deci ecuatia nu are solutii decat daca si membrul stang este negativ, adica:

Separam termenii, ridicam la patrat, apoi trecem toti termenii in stanga si obtinem:

Rezolvam apeland si la calculator, si obtinem:

Functia

este continua si ia valori de semne contrare la capetele intervalului, deci are o radacina in acest interval.
De aici avem doua cai de continuare:
1) Sa folosim formula de calcul a ariei unui patrulater inscriptibil, (care este demonstrata de exemplu in Culegerea de probleme a lui Marius Stoka si altii la pagina 139, editia 1975),

unde

. Cu aceasta , obtinem:

. Ca sa aflam numarul de furnici ce s-ar putea simti bine pe aceasta suprafata, o impartim la suprafata necesara unei furnici, si obtinem 489898 furnici(am luat o aproximatie prin ados cu eroarea foarte mica deoarece notiunea de "a se simti bine", pentru celelalte furnici, fiind destul de relativa, nu va avea de suferit.)
2)Beneficiem de faptul ca dispunem de calculator, si injumatatim intervalul de cateva ori, pana cand ajungem la concluzia ca radacina functiei este

Pentru aceasta valoare a lui k, gasim valorile aproximative in grade pentru unghiuri:

Cu tangenta jumatatii unghiului, calculam inaltimile aproximative in centimetri ale triunghiurilor ce au o latura una din laturile patrulaterului si al treilea varf in centrul cercului circumscris patrulaterului:

Putem calcula acum aria patrulaterului:

.Pentru a calcula numarul de furnici ce se pot simti bine in interiorul acestui patrulater, impartim aria la

si obtinem:

Oare, chiar s-or simti bine?

CAZULII.
In acest caz,

Calcule similare cu cele de la CAZUL I ne conduc la:

Punand conditia de existenta, obtinem:

si binenteles ca din notatie,

. Aceasta ecuatie nu are solutie. O verificare mai simpla a acestei afirmatii ar fi urmatoarea:

pentru :

, iar

pentru

Cum fiecare din termenii din stanga sunt mai mari decat cel din dreapta pe cate unul din cele doua intervale ce acopera intervalul

, evident ca suma lor este mai mare ca membrul drept, deci ecuatia nu are solutie. Altfel spus, nu exista un astfel de patrulater care sa indeplineasca conditiile problemei, ramanand ca singura solutie, cea de la cazul I.

PS: Am considerat rezolvarea celor doua inecuatii de la cazul II suficient de simpla pentru a nu o mai redacta amanuntit.