Este fct. f:R-R, f(x)=sin(1/x), x<>o;0 pt. x=0 uniform continua?
(eu cred ca nu ,am gasit o demonstratie plecind de la def. dar nu sunt sigura ca e bine)

[Citat] Este fct. f:R-R, f(x)=sin(1/x), x<>o;0 pt. x=0 uniform continua? (eu cred ca nu ,am gasit o demonstratie plecind de la def. dar nu sunt sigura ca e bine)

Daca f ar fi uniform continua atunci in mod necesar trebuie sa fie continua. Dar f nu este continua in 0 (nu are limita in 0).

Exista fct. continue pe R,f:R-R cu prop ca f(x)apartine lui Q iff f(x+1)nu apartine lui Q?

[Citat] Exista fct. continue pe R,f:R-R cu prop ca f(x)apartine lui Q iff f(x+1)nu apartine lui Q?

Nu, deoarece daca ar exista, functia g(x)=f(x+1)-f(x) ar fi continua si ar lua doar valori irationale, deci ar fi constanta. Atunci, luand a astfel ca f(a) sa fie rational, rezulta f(a+2) tot rational si avem g(a)+g(a+1)=f(a+2)-f(a) rational, contradictie.
Problema e din 1978 de la faza nationala a olimpiadei.

[Citat] [Citat] Exista fct. continue pe R,f:R-R cu prop ca f(x)apartine lui Q iff f(x+1)nu apartine lui Q? Nu, deoarece daca ar exista, functia g(x)=f(x+1)-f(x) ar fi continua si ar lua doar valori irationale, deci ar fi constanta. Atunci, luand a astfel ca f(a) sa fie rational, rezulta f(a+2) tot rational si avem g(a)+g(a+1)=f(a+2)-f(a) rational, contradictie. Problema e din 1978 de la faza nationala a olimpiadei.

Matematicienii si filozofii au tainele lor.Multumesc.
P.s. In 1978 eram la gradinita.
Am gasit problema data la un examen de didactica matematicii .

Nu-i nici o taina.. E una dintre cele mai frumoase probleme care s-au dat vreodata la noi la olimpiada

[Citat] Nu-i nici o taina.. E una dintre cele mai frumoase probleme care s-au dat vreodata la noi la olimpiada

E adevarat.Ma bucur ca am dat peste ea.(desi cred uneori ca unele probelme ma cauta ele pe mine.)