Adica ultimele doua perechi pot fi considerate diferite?
Ca o numaram ca o singura solutie...

[Citat] Adica ultimele doua perechi pot fi considerate diferite?

Chiar sunt diferite

[Citat] Sa se det.cel mai mic nr. nat n cu prop ca ec.1/x+1/y=1/n are ca solutii exact 15 perechi ordonate (x,y)nr. naturale. l-am gasit pe 1 ca fiind cel mai mic nr. pt. care ec. are solutie,dar mai mult n-am fost in stare.

1/x+1/y=1/n este echivalent cu (x+y)/(xy)=1/n ceea ce este echivalent cu
xy=n(x+y) ceea ce este echivalent cu
xy-nx-ny=0 ceea ce este echivalent cu
xy-nx-ny+n^2=n^2 ceea ce este echivalent cu
x(y-n)-n(y-n)=n^2 ceea ce este echivalent cu
(y-n)(x-n)=n^2
?i deci este necesar ca n^2 s? aib? 15 divizori, adic? având în vedere formula func?iei tau(n)=nu?mrul de diviori ai lui n ,este necesar ca n s? fie de forma p^14 cu p prim, fie de forma p^4*q^2 unde p ?i q sunt prime distincte
Având în vedere c? noi c?ut?m cel mai mic num?r n înseamn? c? fie n^2=2^14 fie n^2=2^4*3^2
Cel mai mic dintre ele este 2^4*3^2. Dac? n^2=2^4*3^2, deoarece n este numar natural (deci pozitiv) rezulta ca n=2^2*3^1=12
Deci raspuns n=12
Ar fi interesant? urm?toarea generalizare:
Dac? p ?i q sunt numere prime impare distincte s? se determine cel mai mic num?r n pentru care ecua?ia 1/x+1/y=1/n are exact pq solu?i naturale (de remarcat c? pentru p=3 ?i q=5 se ob?ine problema men?ionat? de tine)

[Citat] Pentru orice nr.natural p consideram ecuatia Sa se arate ca daca p este prim,atunci exista exact trei solutii.Altfel exista mai multe solutii. Nu stiu cum sa le numar,dar eu gasesc,in cazul p nr. prim,doar doua solutii...

In general daca n este un numar natural nenul atunci numarul de perechi de numere naturale (x;y)pentru care 1/x+1/y=1/n este numarul de divizori naturali ai lui n^2 iar solutiile sunt de forma
x=n+d; y=n+n^2/d unde d parcurge multimea divizorilor naturali ai lui n^2 (aceste fapte reies din postarea mea precedenta)
Daca p este prim atunci p^2 are 3 divizori naturali

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=53&t=1456&p=3122#p3122