Cum demonsrez ca un izomorfism f:Q-Q[x] are forma f(x)=f(1)x.Exista o generalizare a acestui rezultat?

[Citat] Cum demonsrez ca un izomorfism f:Q-Q[x] are forma f(x)=f(1)x.Exista o generalizare a acestui rezultat?

Aceasta aplicatie nu poate fi IZOmorfism caci nu este surjectiva.

In al doilea rand, este vorba despre care structura:
de grup, inel sau spatiu vectorial peste Q ale lui Q si Q[x]?

[Citat] Cum demonsrez ca un izomorfism f:Q-Q[x] are forma f(x)=f(1)x.Exista o generalizare a acestui rezultat?

Izomorfism sau doar morfism?

Scuze ,am uitat sa precizez ,e pt.grup.Mai precis,ca sa dem. ca (Q,+)si(Q[x],+)nu sunt izomorfe,am gasit un rezultat in care se pp.ca exista f:Q-Q[X],f(x)=ax,cu a=f(1).Sau am inteles eu prostii,?ca mi se mai intimpla

[Citat] Scuze ,am uitat sa precizez ,e pt.grup.Mai precis,ca sa dem. ca (Q,+)si(Q[x],+)nu sunt izomorfe,am gasit un rezultat in care se pp.ca exista f:Q-Q[X],f(x)=ax,cu a=f(1).Sau am inteles eu prostii,?ca mi se mai intimpla

Relatia pe care o scrieti este adevarata. Iata niste detalii mai jos. L-am inlocuit pe x cu t pentru a nu confunda cu nedeterminata polinoamelor.

Fie

un morfism de grupuri, deci f(s+t)=f(s)+f(t) pentru orice s,t rationale. Se demonstreaza succesiv

f(-t)=-f(t)$, pentru orice t rational

f(nt)=nf(t), pentru orice n intreg si orice t rational (inductie dupa n natural si apoi folosim relatia precedenta pentru n negativ)

f(1/q)=f(1)/q, pentru orice q intreg nenul

f(p/q)=(p/q)f(1), pentru orice p,q intregi, q nenul, adica f(t)=tf(1), pentru orice t rational

Din ultima relatie rezulta ca toate polinoamele nenule din imagine lui f au acelasi grad cu polinomul f(1). Deci f nu poate fi surjectiva.

Acum arata mai limpede.Dar imi ramaine neclar in cntinuare de ce ,de cate ori caut un izomorfism (de pilda intre grupul maticilor si R ,cu inmultirea)il caut de forma
f(x)=ax.Pot in principiu aplica acelasi rationament, pe care l-ati aplicat Dvs.?

[Citat] Acum arata mai limpede.Dar imi ramaine neclar in cntinuare de ce ,de cate ori caut un izomorfism (de pilda intre grupul maticilor si R ,cu inmultirea)il caut de forma f(x)=ax.Pot in principiu aplica acelasi rationament, pe care l-ati aplicat Dvs.?

Ideile de mai sus pot fi transpuse in cazul oricaror grupuri aditive.