Sa se arate ca oricare ar fi zece numere naturale consecutive ,exista unul ditre acestea prim cu celelalte noua.

Demonstram ca din cele 10 numere naturale consecutive exista unul care nu are nici unul dintre divizorii 2,3,5,7. In acest caz, fie x numarul cu proprietate de mai sus si sa presupunem ca exista y , un alt numar din cele 10, care nu este prim cu x, adica exista d natural a.i. d|x & d|y => d|(x-y) => exista p din multimea {2,3,5,7} a.i. p|d si deci p|x, contradictie.
Pentru prima parte m-am bazat pe un algoritm logic de gasire a 10 numere naturale consecutive in care fiecare are cel putin unul dintre divizorii 2,3,5 sau 7. Procedand eficient pt fiecare divizor (incercand sa acopar cat mai multe numere din cele 10, logic ), se observa ca ramane cel putin un numar fara acesti divizori.

[Citat] Pentru prima parte m-am bazat pe un algoritm logic de gasire a 10 numere naturale consecutive in care fiecare are cel putin unul dintre divizorii 2,3,5 sau 7. Procedand eficient pt fiecare divizor (incercand sa acopar cat mai multe numere din cele 10, logic ), se observa ca ramane cel putin un numar fara acesti divizori.

Pentru partea aceasta am putea judeca asa:
Din 10 nr. consecutive, 5 sunt pare. Ne raman cinci numere impare consecutive.
Dintre acestea doua sunt multiplii de trei(al treilea multiplu de trei este par).
Din cinci numere impare consecutive doar unul este multiplu de 5.
Deasemenea, din cinci numere impare consecutive doar unul poate fi multiplu de 7. In concluzie, ramane un numar care nu se divide la nici unul din numerele 2,3,5,7.

Ca tot veni vorba de nr. prime:
Sa se determine toate nr.nat.n pt.care nr.
n+1;n+3;n+7;n+9 si n+15 sunt toate nr. prime.

Se observaca ca singurul numar natural mai mic sau egal decat 5 care verifica este 4. Presupunem ca n>5 , n= 5*k + a, k>=1, 1<=a<=5 verifica. Pentru fiecare valoare pe care o poate lua a se identifica un numar printre n+1, n+3, n+7, n+9, n+15 ( 1,3,7,9,15 sunt reprezentanti ai toturor claselor din Z5) care este multiplu de 5 , dar cum este mai mare strict decat 5 , nu poate fi prim.