Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:
1)ln(x+1)<x,pentru 0<x<1
2)Sa se arate ca pentru orice x cu proprietatea: 0<x<t<pi/2 avem
cosx/cost>tgx/tgt.

[Citat] Sa se demonstreze urmatoarele inegalitati: 1)ln(x+1)<x,pentru 0<x<1 2)Sa se arate ca pentru orice x cu proprietatea: 0<x<t<pi/2 avem cosx/cost>tgx/tgt.

1. Fie

. Derivata ei este :

, pe domeniul de definitie,deci

este strict descrescatoare si pentru ca

,(limita la dreapta in 0) rezulta ca

si de aici inegalitatea ceruta.
2. Inegalitatea :

se mai scrie:

. Consideram functia:

. Derivata ei este:

; pentru orice x din domeniu de definitie, deci functia este strict descrescatoare, de unde:

, adica inegalitatea ceruta.

Am o mica nelamurire:functia f este definita (0,1),de unde este f(0)=0 pentru ca functia nu ati fefinit-o in 0.......sau o definiti si in punctul 0 ca fiind zero?Atunci functia ar fi definita pe [0,1)si ar fi o prelungire in 0 a functiei f definita pe(0,1)?

[Citat] Am o mica nelamurire:functia f este definita (0,1),de unde este f(0)=0 pentru ca functia nu ati fefinit-o in 0.......sau o definiti si in punctul 0 ca fiind zero?Atunci functia ar fi definita pe [0,1)si ar fi o prelungire in 0 a functiei f definita pe(0,1)?

Nu terminasem redactarea, dar se poate defini functia si pe [0;1] si atunci are sens f(0).Chiar este mai bine asa. Initial am vrut sa iau alta functie si de aceea am luat intervalul deschis.

Eu v-am intrebat acest lucru pentru ca gasisem in carti o forma mai generala:
Sa zicem se da o functie derivabila pe(a,+infinit)cu valori in R,cu derivata strict pozitiva si cu limita laterala dreapta in punctul a este =0.Demonstratia din carte era asa:functia f este derivabila,f`(x)>0 rezulta functia f este strict crescatoare iar din faptul ca pentru orice x>a rezulta
f(x)>f(a)=0.Si nu stiu de unde este f(a)=0 pentru ca functia era definita numai pe(a,+infinit),adica nu era definita in a.Am constata ca se poate construii prelungirea prin continuitate in punctul 0,si atunci functia astfel obtinuta definita pe[a,+infinit) este continua in a si strict crscatoare pe (a,+infinit)iar de aici conform unei leme rezulta strict crescatoare pe [a,+infinit)Asta inseamna ca pentru x>a rezulta g(x)=f(x)>g(a)=0(g fiind prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a)

[Citat] Eu v-am intrebat acest lucru pentru ca gasisem in carti o forma mai generala: Sa zicem se da o functie derivabila pe(a,+infinit)cu valori in R,cu derivata strict pozitiva si cu limita lateralala dreapta in punctul a este =0.Demonstratia din carte era asa:functia f este derivabila,f`(x)>0 rezulta functia f este strict crescatoare iar din faptul ca pentru orice x>a rezulta f(x)>f(a)=0.Si nu stiam de unde este f(a)=0 pentru ca functia era definita numai pe(a,+infinit),adica nu era definita in a.Am constata ca se poate construii prelungirea prin continuitate in punctul 0,si atunci functia astfel obtinuta definita pe[a,+infinit) este continua in a si strict crscatoare pe (a,+infinit)iar de aici conform unei leme rezulta strict crescatoare pe [a,+infinit)Asta inseamna ca pentru x>a rezulta f(x)>g(a)=0(g fiind prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a)

Chiar si la demonstratia din carte la punctul 1 functia era definita pe (0,1),se calcula derivata,se stabilea monotonia si apoi......la urma urmei aparea f(x)<f(O)=0 dar functia nu este definita in o(aici nu inteleg)

[Citat] [Citat] Eu v-am intrebat acest lucru pentru ca gasisem in carti o forma mai generala: Sa zicem se da o functie derivabila pe(a,+infinit)cu valori in R,cu derivata strict pozitiva si cu limita lateralala dreapta in punctul a este =0.Demonstratia din carte era asa:functia f este derivabila,f`(x)>0 rezulta functia f este strict crescatoare iar din faptul ca pentru orice x>a rezulta f(x)>f(a)=0.Si nu stiam de unde este f(a)=0 pentru ca functia era definita numai pe(a,+infinit),adica nu era definita in a.Am constata ca se poate construii prelungirea prin continuitate in punctul 0,si atunci functia astfel obtinuta definita pe[a,+infinit) este continua in a si strict crscatoare pe (a,+infinit)iar de aici conform unei leme rezulta strict crescatoare pe [a,+infinit)Asta inseamna ca pentru x>a rezulta f(x)>g(a)=0(g fiind prelungirea prin continuitate a functiei f in punctul a) Chiar si la demonstratia din carte la punctul 1 functia era definita pe (0,1),se calcula derivata,se stabilea monotonia si apoi......la urma urmei aparea f(x)<f(O)=0 dar functia nu este definita in o(aici nu inteleg)

La functia de la punctul 1. ia domeniul de definitie [0;1] si nu mai apare problema asta, iar ceea ce spui mai sus ca ai inteles, este foarte bine.