419.
Se considera sirul Xn n>=0 definit prin Xn+1= Xn+2/Xn, X0=1

lim Xn/sqrt(n) este egal cu :
n-oo

A. 1
B. 2
C. 3
D. pi
E. oo

452.
lim (1/n)[a^(n/1)+a^(n/2)+...+a(n/n)], unde a apartine lui (1,oo), este :
n-oo

A. 1-lna
B. 1+lna
C. 2+lna
D. -lna
E. lna

453.
Limita sirului an=(ln2/2+ln3/3+ln4/4+...+lnn/n)/(lnn)^2 este:

A. 1
B. 0
C. 1/2
D. 2
E. nu exista


457.

Fie A2>0, A3>0, An+2*An=[(1+1/n)^n]*(An+1)^2, n>=2. Valoarea limitei:

lim radical de ordinul n^2 din An este :
n-oo
A. 0
B. 1
C. oo
D. e
E. alt raspuns


458.

Multimea valorilor parametrului pozitiv a pentru care limita sirului

Xn=[1+1/(n+1)^a]*[1+1/(n+2)^a]*...*[1+1/(2n)^a], n apartine lui N stelat, apartine intervalului (1,5/2) este :

A. (0,oo)
B. [0,oo)
C. (1,oo)
D. (0,1)
E. alt raspuns


459.

Fie sirul (Xn)n>=1, Xn=ac+(a+ab)c^2+...+(a+ab+...+ab^n)c^(n+1). Atunci pt. orice a,b,c apartin lui R cu proprietatile: modul de c < 1, b diferit de 1 si modul de bc < 1, avem:
A. Xn nu este convergent
B. lim Xn =0 ,n-oo
C. lim Xn =1 ,n-oo
D. lim Xn =(a+ab)/(1-ab)c ,n-oo
E. lim Xn = ac/(1-bc)(1-c) ,n-oo

[Citat] 419. Se considera sirul Xn n>=0 definit prin Xn+1= Xn+2/Xn, X0=1 lim Xn/sqrt(n) este egal cu : n-oo A. 1 B. 2 C. 3 D. pi E. oo

Nici una. Sirul este monoton si descrescator incepand de la n=2. Limita sa este 2, deci limita ceruta este zero!

[Citat] 452. lim (1/n)[a^(n/1)+a^(n/2)+...+a(n/n)], unde a apartine lui (1,oo), este : n-oo A. 1-lna B. 1+lna C. 2+lna D. -lna E. lna

Nici unul din raspunsuri nu este valabil. Limita este infinit (e suficient sa ne uitam la

[Citat] 453. Limita sirului an=(ln2/2+ln3/3+ln4/4+...+lnn/n)/(lnn)^2 este: A. 1 B. 0 C. 1/2 D. 2 E. nu exista

Aplici Cesaro-Stolz. Avem

[Citat] 457. Fie A2>0, A3>0, An+2*An=[(1+1/n)^n]*(An+1)^2, n>=2. Valoarea limitei: lim radical de ordinul n^2 din An este : n-oo A. 0 B. 1 C. oo D. e E. alt raspuns

Logaritmezi, aplici Stolz-Cesaro de doua ori:

(la ltima egalitate folosesti recurenta din enunt, plus o mlimita clasica). Valoarea limitei este

[Citat] 458. Multimea valorilor parametrului pozitiv a pentru care limita sirului Xn=[1+1/(n+1)^a]*[1+1/(n+2)^a]*...*[1+1/(2n)^a], n apartine lui N stelat, apartine intervalului (1,5/2) este : A. (0,oo) B. [0,oo) C. (1,oo) D. (0,1) E. alt raspuns

pentru orice n valoarea lui

este intre

si

. Daca a>1 atunci limita este 1, iar daca a<1 limita este infinit. Ramane sa studiem cazul a=1. In acest caz limita este egala cu 2 (produsul este telescopic).

[Citat] 459. Fie sirul (Xn)n>=1, Xn=ac+(a+ab)c^2+...+(a+ab+...+ab^n)c^(n+1). Atunci pt. orice a,b,c apartin lui R cu proprietatile: modul de c < 1, b diferit de 1 si modul de bc < 1, avem: A. Xn nu este convergent B. lim Xn =0 ,n-oo C. lim Xn =1 ,n-oo D. lim Xn =(a+ab)/(1-ab)c ,n-oo E. lim Xn = ac/(1-bc)(1-c) ,n-oo

Poti calcula explicit termenul general folosind suma seriei geometrice. raspunsul este (E).

[Citat] [Citat] 419. Se considera sirul Xn n>=0 definit prin Xn+1= Xn+2/Xn, X0=1 lim Xn/sqrt(n) este egal cu : n-oo A. 1 B. 2 C. 3 D. pi E. oo Nici una. Sirul este monoton si descrescator incepand de la n=2. Limita sa este 2, deci limita ceruta este zero!

Cred ca recurenta este

. Raspunsul este B.

[Citat] [Citat] [Citat] 419. Se considera sirul Xn n>=0 definit prin Xn+1= Xn+2/Xn, X0=1 lim Xn/sqrt(n) este egal cu : n-oo A. 1 B. 2 C. 3 D. pi E. oo Nici una. Sirul este monoton si descrescator incepand de la n=2. Limita sa este 2, deci limita ceruta este zero! Cred ca recurenta este . Raspunsul este B.

Aveti dreptate in ceea ce priveste recurenta, am gresit. Se ridica la patrat, se obtine

dupa care se observa ca sirul tinde la infinit. Atunci

Conform lemei Cesaro-Stolz rezulta

In final extragem radacina patrata.

ms mult pt rezolvari