......
......
......
$a_n-2$ = $a_n-3$ + (n-2)^2 + n-2;
$a_n-1$ = $a_n-2$ + (n-1)^2 + n-1;
$a_n$ = $a_n-1$ + n^2 + n;
Mai departe se aduna aceste relatii...si vom avea:
$a_1$+$a_2$+$a_3$+$a_4$+......+$a_n-2$+$a_n-1$+$a_n$=$a_1$+$a_2$+$a_3$+$a_4$+......+$a_n-2$+$a_n-1$+1+ 2^2+3^2+....n^2 + 1+2+3+4+....+n
Eliminam ce avem si in membrul stang si in cel drept si ramane:
$a_n$=1+ 2^2+3^2+....n^2 + 1+2+3+4+....+n
prima suma este suma primelor n patrate perfecte care este egala cu $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, iar cea de-a doua este suma primelor n numere care este
$\frac{n(n+1)}{2}$,Se scoate factor comun $\frac{n(n+1)}{2}$ si se aduce la acelasi numitor si rezulta ce avem de demonstrat.
$a_n$=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$