Se da triunghiul ABC isoscel, cu AB= AC si unghiul A de 20grd. Se duc BN astfel incit unghiul NBC sa fie de 50grd si CM astfel incit unghiul MCB sa fie de 30grd (M apartine lui AB si N apartine lui AC). Sa se afle unghiul AMN.
Va rog sa ma ajutati cu un sfat in rezolvarea acestei probleme.Cu ajutorul unui program de geometrie am aflat ca unghiul AMN este 47,88 grade dar nu am gasit o metoda de rezolvare a problemei.

Notand cu

unghiul necunoscut, noi am gasit

de unde

.

Nu credem ca unghiul

poate fi exprimat ca multiplu rational de

, desi nu suntem 100% siguri. Cazurile in care rezultatul este "frumos" sunt legate de "adventitious angles" si sunt, se pare, clasificate.

Daca modificam problema, schimband unghiul de 30 intr-unul de 60, atunci unghiul cautat este de 30 de grade (Langley prin anii '22).

Aceste probleme sunt in mod tipic abordate identificand un poligon regulat (cu multe laturi) in care exista cel putin trei diagonale concurente (in interior).

o sa mai "sapam" un pic...

Multumesc pentru raspuns.

[Citat] Notand cu unghiul necunoscut, noi am gasit de unde . Nu credem ca unghiul poate fi exprimat ca multiplu rational de , desi nu suntem 100% siguri. Cazurile in care rezultatul este "frumos" sunt legate de "adventitious angles" si sunt, se pare, clasificate. Daca modificam problema, schimband unghiul de 30 intr-unul de 60, atunci unghiul cautat este de 30 de grade (Langley prin anii '22). Aceste probleme sunt in mod tipic abordate identificand un poligon regulat (cu multe laturi) in care exista cel putin trei diagonale concurente (in interior). o sa mai "sapam" un pic...

Problema este de clasa a VI-a, cu grad mare de dificultate. Cred ca, unghiul cautat este de 50 de grade:
Dupa constructie, triunghiul NCB este isoscel9are doua unghiuri de 50 de grade), de unde se deduce congruenta laturilor NC si CB.
Apoi, am construit triunghiul QBC cu unghiul QCB de 20 grade,de asemeni isoscel deoarece are doua unghiuri de 80grade, de unde se deduce ca triunghiul NQC este echilateral, deoarece are CN congruent cu CQ, si unghiul NCQ d 60grade si deci unghiul NQC este de 60 de grade. Q este pe AB. In triunghiul MQC unghiul MCQ este de 10 grade, ca de altfel si unghiul QNB, care este tot de 10 grade. M si Q sunt punctE fixe, mutand cu privirea Q in M, pastrandu-se aceeasi deschizatura pentru cele doua unghiuri deduc ca unghiul MNQ este tot de 10 grade, de unde constat ca unghiul NMC este de 60 de grade. Cum unghiul CMA este exterior triunghiului MQC, constat ca are 110 grade si deci unghiul NMA are 50 de grade. Cam asa vad eu rezolvarea acestei probleme.
Este posibil sa gresesc, dar nu cred.

Sigur, afirmatia cu translatia din * privire * este discutabila, ceva imi scapa. Observ ca triunghiul MQT este isoscel, unde T este intersectia dintre CM si NQ si daca prelngesc CQ si MN pana la intersectie P, atunci triunghiul MQP ar putea fi isoscel, dar nu am reusit sa fac o constructie in acest sens, care sa ma ajute sa intaresc afirmatia ca unghiul NMC este de 60 grade. Poate reusim impreuna!

Mi-am dat seama imediat ca nu avea suport matematic. Am ras un pic. Dar am zis, ca romanul * merge si asa *.
(Unde aveti, domnilor iconitele).

Eu sunt profesor de gimnaziu, nu este o scuza, am incercat s-o rezolv la acest nivel. Exista astfel de probleme, evident nu cu aceste date. S-au dat la olimpiade la clasa a VI-a sau a VII-a, eu am lucrat astfel de probleme cu elevii mei.
Tocmai de aceea am supus-o atentiei dumneavoastra, de fapt, am si revenit cu un mesaj, imediat. Nu am gasit nici o constructie care sa ma ajute, de aceea am postat incercarea mea de rezolvare la dumneavoastra. Nu m-am gandit s-o rezolv la nivel de liceu. Am zis daca tot o rezolv s-o supun atentiei elevilor, pentru ca este frumoasa, dar nu la nivel de liceu.
Astfel de probleme sunt prin culegeri, cand o sa am un pic mai mult timp o sa scriu una-doua.
Multumesc pentru observatii.

Cu respect,
Natasa

[Citat] Mi-am dat seama imediat ca nu avea suport matematic. Am ras un pic. Dar am zis, ca romanul * merge si asa *. (Unde aveti, domnilor iconitele). Eu sunt profesor de gimnaziu, nu este o scuza, am incercat s-o rezolv la acest nivel. Exista astfel de probleme, evident nu cu aceste date. S-au dat la olimpiade la clasa a VI-a sau a VII-a, eu am lucrat astfel de probleme cu elevii mei. Tocmai de aceea am supus-o atentiei dumneavoastra, de fapt, am si revenit cu un mesaj, imediat. Nu am gasit nici o constructie care sa ma ajute, de aceea am postat incercarea mea de rezolvare la dumneavoastra. Nu m-am gandit s-o rezolv la nivel de liceu. Am zis daca tot o rezolv s-o supun atentiei elevilor, pentru ca este frumoasa, dar nu la nivel de liceu. Astfel de probleme sunt prin culegeri, cand o sa am un pic mai mult timp o sa scriu una-doua. Multumesc pentru observatii. Cu respect, Natasa

Iconitele sunt "ascunse", insa exista. Tastand
: ), ; ), ; p (fara spatii)
obtineti
, , ;p, etc.

Din dorinta de a pastra un caracter mai sobru, ele nu apar in mod explicit in paginile de input.

In ceea ce priveste problema originala (cu unghiurile 50 si 60), intr-adevar exista o solutie ce presupune constructia unui triunghi echilateral.

Pana ne dumirim noi asupra naturii unghiului

am postat o problema de geometrie elementara la Problema Saptamanii (vezi http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12)
Nestiind exact programa actuala nu ne putem pronunta daca este de clasa a VI-a sau a VII-a, dar este sigur de gimnaziu.

Apropo in ce clasa se mai studiaza aria dreptunghiului?

Am promis o problema de gimnaziu de acelasi tip ca si problema propusa.

Sursa: Olimpiada matematica clasa a VI-a. Etapa judeteana, Constanta, 1997.

In triunghiul ABC(AB = AC)masura unghiului A este de 20grade.
Fie E apartine laturii AB si D apartine laturii AC astfel incat masura unghiului ACE = 30grade, masura unghiului
ABD = 20 grade.
Aflati masura unghiului AED.

Domnule Euclid,

Multumesc pentru informatii!
In general, profesorii de matematica sunt oameni cu mintea destupata, vreau sa spun ca sunt abili in multe privinte, plini de imaginatie si veseli. Nu trebuie ca forumul dumneavoastra sa fie sobru, oamenii matematicii nu sunt oameni sobrii, ba din contra

Domnule Pitagora,

Bine v-am gasit!
La gimnaziu, aria dreptunghiului se studiaza din clasa V-a, ... .

[Citat] Am promis o problema de gimnaziu de acelasi tip ca si problema propusa. Sursa: Olimpiada matematica clasa a VI-a. Etapa judeteana, Constanta, 1997. In triunghiul ABC(AB = AC)masura unghiului A este de 20grade. Fie E apartine laturii AB si D apartine laturii AC astfel incat masura unghiului ACE = 30grade, masura unghiului ABD = 20 grade. Aflati masura unghiului AED.

Aceasta este problema originala a lui Langley.