Mai am cateva pb , una dintre ele am scris-o si data trecuta, dar notasem gresit enuntul.

1. Se da triunghiul ABC isoscel cu AB=AC si D un punct oarecare pe (AC). O este centrul cercului circumscris triunghiului BDC. Aratati ca O apartine cercului circumscris triunghiului ABD.

2. Aflati numerele de forma abc cu bara deasupra stiind ca a x b x c= 3 x (a+b+c)

3. Trriunghiul ABC este isoscel cu BC=CA. consideram D pe (BC), D-oarecare si fie I centrul cercului inscris in triunghiul ADC. Demonstrati ca I apartine cercului circumscris triunghiului ABD.

4. Aratati ca ecuatia (x la puterea a 2a) + (y la puterea a 2a) =1983 nu are solutii in Z.

5.Determinati nr de forma xyz cu bara deasupra cu proprietatea ca:
xyz (cu bara deasupra)= 53(x+y+z)

raspund la problema 4) ...

deoarece x^2 + y^2 = 1983, observam ca ultima cifra a sumei trebuie sa fie 3

Acum, luand in calcul faptul ca ultima cifra a unui patrat perfect poate fi
0, 1, 4, 5, 6 si 9, inseamna ca singurele combinatii de ultima cifra pentru suma celor doua patrate poate fi 4 + 9 !!

Problema accepta o rezolvare prin metoda verificarii succesive a sumei patratelor avand ultima cifra 4 si respectiv 9.

Daca luam in calcul doar patratele < 1983, care se termina in cifra 4, avem variantele de sume : (in care , printr-o simpla verificare se observa ca nici unul dintre numerele care se termina in cifra 9 nu este patrat perfect !)
4 + 1979; 64 + 1919; 144 + 1839; 324 + 1659; 484 + 1499; 784 + 1199; 1024 + 959; 1444 + 539 si 1764 + 219 .

Daca luam in calcul doar patratele < 1983, care se termina in cifra 9, avem variantele de sume : (in care , printr-o simpla verificare se observa ca nici unul dintre numerele care se termina in cifra 4 nu este patrat perfect !)
9 + 1974; 49 + 1934; 169 + 1814; 289 + 1694; 529 + 1454; 729 + 1254; 1089 + 794; 1369 + 614 si 1849 + 34.

bafta !!

numai bine...

raspund la problema 5)...

Ea se poate rezolva prin metoda verificarii succesive, dand valori sumei
S=(x+y+z) si verificand daca cifrele produsului S*53 (fara varianta S=1 !!) au suma egala cu S.

Obtinem urmatoarele posibilitati

S=2 rezulta S*53 = 106 (F)
S=3 rezulta S*53 = 159 (F)
S=4 rezulta S*53 = 212 (F)
S=5 rezulta S*53 = 265 (F)
S=6 rezulta S*53 = 318 (F)
S=7 rezulta S*53 = 371 (F)
S=8 rezulta S*53 = 424 (A)
S=9 rezulta S*53 = 477 (F)
S=10 rezulta S*53 = 530 (F)
S=11 rezulta S*53 = 583 (F)
S=12 rezulta S*53 = 636 (F)
S=13 rezulta S*53 = 689 (F)
S=14 rezulta S*53 = 742 (F)
S=15 rezulta S*53 = 795 (F)
S=16 rezulta S*53 = 848 (F)
S=17 rezulta S*53 = 901 (F)
S=18 rezulta S*53 = 954 (A)
S=19 rezulta S*53 = 1007 ......(de aici incolo S*53 nu mai e de forma xyz(cu bara deasupra) !!)

deci singurele solutii sunt 424 = 53*(4+2+4) si 954 = 53*(9+5+4)

bafta!!

numai bine....

revin cu o modificare...

cazul S=8 nu se verifica, (scuze !!) , deoarece 4+2+4 = 10 ..

bafta!!

numai bine...

probl.4) patratele perfecte sunt de forma

.

exista patrate perfecte de forma

.deci

Cum

rezulta ca ecuatia nu are solutii in

daca patrate perfecte sunt de forma
4k+1 si 4k+2, atunci nu e posibil ca suma lor
s= 4k+1 + 4k+2
sa fie de forma 4k+3 ??

numai bine....

)) sorryyy....am citit incorect informatia ta...

deci intrebarea e retorica nu? ))

probl. 5

se scrie

sau

inseamna ca

si cum a si b sunt cifre rezulta

si imediat

deci
nr. este

unic.