sub 3 , ex 2

a)--fa(x) are primitive strict crescatoare pe R , oricare ar fi a din R .

Asta inseamna ca: Fie Fa(x) primitiva a lui fa(x) la cazul general. Fa(x) e s crescatoare pe R <=> F'a(x)>0
Dar stim ca F'(x)=f(x) de aici ramane sa demonstram ca f(x)>0

deoarece fa(x)=1/(|x-a|+3) si |x-a| intotdeauna pozitiv => fa(x)>0 si => F e s crescatoare pt orice a din R (ceea ce trebuia demonstrat).


b)Daca explicitam functia f2(x)=1/(|x-2|+3) putem scrie :
f2(x)=1/(2-x+3) =1/(5-x)pt x<2
f2(x)=1/(x-2+3)=1/(x-1) pt x>2

De aici integrala va deveni integrala de la 0 la 2 din 1/(5-x) + integrala de la 2 la 3 din 1/(x-1) .Calcule....si iese usor.

La punctul ce inca nu am ajuns la o rezolvare clara :P dar am sa postez de indata ce o rezolv

Functia

fiind continua, este marginita, deci exista

astfel ca

pentru orice

Pe de alta parte, pentru

in

si

avem

, deci

Rezulta

Trecand la limita cu

obtinem concluzia.