Fie functia

,

.
Sa se arate ca functia data este strict crescatoare pe

.

Este functia data (strict) crescatoare pe cele trei "bucati" (doua intervale si punctul zero), care reprezinta cazurile separate specificate de definitia ei? Ce valori se iau pe fiecare bucata?

Pe fiecare interval diferit de 0 funcția este strict crescătoare (aș putea arăta aceasta cu semnul derivatei, cred), iar în 0, acesta nefiind interval păstrează monotonia. Funcția nefiind continuă în 0 n-am știut cum să abordez cazul cu 0. Pe celelalte intervale funcția este derivabilă fiind restricția unor funcții derivabile deci e clar.

Proprietatea de monotonie - crescatoare, ca sa fixam ideile - este o proprietate "punctuala" a unei functii f, ne dam doua puncte a si b din domeniul lui f cu

a < b

si vrem / încercam sa aratam - daca ne legam doar de definitie -

f(a) < f(b) .

Desigur, derivabilitatea (daca se aplica pentru f) ne permite sa analizam "altfel" monotonia, dar mereu este bine sa nu fim chiar fixati pe un mod de abordare.
In cazul de fata, pentru a aduna toate punctele s-ar putea sa fim constrânsi de situatie sa scriem "mai mult" daca este sa analizam toate modurile de a plasa cele doua puncte

a, b

pe axa. (Depinzând de gradul de "lenevie" la scris, cineva ar putea observa ca în cazul nostru f(-x) = -f(x) ca sa mai reduca din cazuri, dar daca e vorba de puncte într-un examen sau la olimpiade, si aceasta egalitate trebuie argumentata, astfel ca nu se câstiga prea mult.)

Avem putine cazuri:

a si b împreuna pe "prima bucata", a < b < 0.
a si b împreuna pe "a doua bucata", a < b si a = 0 si b=0 - nu se poate.
a si b împreuna pe "a treia bucata", 0 < a < b.

si apoi cazurile ramase:

a < b = 0 (a pe prima bucata, b pe a doua)
a < 0 < b (a pe prima bucata, b pe a treia)
a = 0 < b (a pe a doua bucata, b pe a treia)

De fiecare data relatia f(a) < f(b) rezulta simplu. Pentru primele trei cazuri nu este nevoie de folosirea derivabilitatii, cunostintele de clasa a saptea (cred) ajung sa manipulam inegalitati. De exemplu, daca 0 < a < b avem imediat a² < b² deci si f(a) = a² + 1 < b² + 1 = f(b).

Vă mulțumesc pentru explicații.