Aratati ca nu exista functii

astfel incat

, oricare ar fi x intreg.

Folosind f(f(x))=x+1 am dedus ca:
f(f(f(x)))=f(x+1)
f(f(f(x)))=f(x)+1, de aici:
f(x+1)=f(x)+1, deci f(x) si f(x+1) sunt numere intregi consecutive. Nu intuiesc mai departe contradictia la care trebuie sa se ajunga.

[Citat] Folosind f(f(x))=x+1 am dedus ca: f(f(f(x)))=f(x+1) f(f(f(x)))=f(x)+1, de aici: f(x+1)=f(x)+1

De aici obținem imediat prin inducție f(x+k)=f(x)+k pentru orice x,k întregi. Pentru x=0, deducem că f(k)=f(0)+k. Înlocuind în relația inițială rezultă 2f(0)=1, o contradicție.

Observație. Asemănător se arată că nu există funcții definite la fel, pentru care f(f(x))=x+a, unde a e impar (a se vedea problema 4 de la IMO 1987 aici https://www.imo-official.org/problems.aspx).

L.E. Enunțul a fost primul punct al problemei 4 de la olimpiada națională de matematică din 1988 (propusă de C. Năstăsescu și S. Dăscălescu, observați că 1988=1987+1 :D). Al doilea punct era:

Multumesc mult!