1. Dacă într+un tetraedru ABCD, m(<ABD)=m(<ACD)=90 grade, să se arate că piciorul înălţimii din A tetraedrului aparţine cercului circumscris triunghiului (BCD).

2. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Demonstraţi că dacă P este un punct care nu aparţine planului (ABC), astfel încât PA=PB=PC, atunci distanţa de la P la planul (ABC) este

[Citat] 1. Dacă într+un tetraedru ABCD, m(<ABD)=m(<ACD)=90 grade, să se arate că piciorul înălţimii din A tetraedrului aparţine cercului circumscris triunghiului (BCD).

Indicație: din ipoteză deducem că punctele B și C se află pe sfera de diametru AD.

[Citat] 2. Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Demonstraţi că dacă P este un punct care nu aparţine planului (ABC), astfel încât PA=PB=PC, atunci distanţa de la P la planul (ABC) este

Mai verificați o dată enunțul. Condiția PA=PB=PC este echivalentă cu apartenența punctului P la perpendiculara pe planul (ABC) care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului (în cazul de față, mijlocul lui BC). Distanța cerută poate fi oricât.

Care e sursa problemelor?

Mulţumesc pentru răspuns!

Cele două probleme fac parte dintr-un manual mai vechi de la editura Teora (E. Radu, D. Radu, aparut undeva prin anii 2000. Enuntul este corect.

Tot acolo, am dat si peste urmatoarea problema:

"Trapezul isoscel ABCD şi pătratul ABFE sunt în plane perpendiculare, cu AB || CD, iar AB=12 cm, DC=6 cm, AD=5 cm.
Dacă

, iar G este centrul patratului ABFE, se cere lungimea lui OG."

Am determinat distanta de la F la DC cu T3p, adică

. Deci, FC=ED=13 (plane perpendiculare), de unde DCFE este trapez isoscel cu diagonalele congruente EC si DF.

Dar, de aici m-am blocat....

Apreciez orice indicatie.

[Citat] Enuntul este corect.

Poate vreți să spuneți "este corect copiat din cartea respectivă".

[Citat] Apreciez orice indicatie.

O indicație ar fi să nu postați probleme noi într-un fir de discuție deja deschis.

În regulă, îmi cer scuze pentru acest lucru.
Din acest motiv am și postat aceste probleme deoarece m-am chinuit destul la ele și mă gândeam că pot fi și greșeli de tipar sau chestii omise. Aveam nevoie și de alte păreri.

Revenind la problema 1: fiind date punctele A și D, locul geometric al punctelor M pentru care unghiul AMD=90 este
a) în plan-cercul de diametru AD (fără punctele A și D)
b) în spațiu-sfera de diametru AD (la fel, fără A și D)

În problema dată deducem că B și C se află pe această sferă. Fie M proiecția lui A pe planul (BCD). Atunci AM e perpendiculară pe orice dreaptă inclusă în acest plan, deci și pe MD. Deducem că și M se află pe sfera menționată. Dar atunci punctele B,C,D și M sunt și pe sferă, și în planul (BCD), deci aparțin intersecției lor, care e, desigur, cercul circumscris triunghiului BCD.