1. Fie A,B două matrice din M_3(R), cel puțin una nesingulară astfel încât 3AB=2BA+I_3. Să se calculeze det(AB-I_3)+2det(I_3-BA)-3det(AB-BA).
a) 1-det(AB-BA) b) -1 c) 3/2 d) 3+det (I_3-AB) e) 2+det(I_3-BA) f) det(AB-BA)

2. Fie A din M_3(R) astfel încât A la puterea 2018 = O_3 și există B cu proprietatea: (A la puterea 2017)*[equation][/equation]B+BA=I_3. Care din afirmații este adevărată:

a) A este egală cu transpusa lui A
b) tr(A)=0
c) A la puterea a doua este O_3
d) A la a treia este O_3
e) A la 1009 este O_3
f) nu există A

Care e sursa?

Admitere Politehnica Timisoara.

Puteți posta o poză cu enunțurile (sau un link către ele)?

Va rog, tipariti de asa natura incat sa se poata citi cat de cat.
Cel mai bine ar fi daca puteti redacta direct in latex... In fine, sa vedem ce putem face...

[Citat] 1. Fie A, B două matrice din M_3(R), cel puțin una nesingulară astfel încât 3AB = 2BA + I . Să se "calculeze" det( AB - I ) + 2 det( I - BA ) - 3 det( AB - BA ) . (a) 1 - det( AB - BA ) (b) -1 (c) 3/2 (d) 3 + det( I - AB ) (e) 2 + det( I - BA ) (f) det( AB - BA )

Avand in vedere ca exercitiul este de tip "cruciulite" (multiple choice), incercam sa facem rost de un caz particular pe care sa testam raspunsurile posibile...

Sa plecam asadar de exemplu cu A, B inverse una alteia. Deci AB = BA = I .
Cei trei determinanti din expresia care trebuie calculata se anuleaza. La raspunsurile posibile, doar (f) se anuleaza in cazul particular dat.

Pentru a da o demonstratie, inlocuim peste tot de exemplu BA cu ( 3AB - I )/2... am facut calculele sumar, dar nu am dat de egalitate. In fine.

Aceasta este problema?

[Citat] Care din afirmații este adevărată: (a) A este egală cu transpusa lui A (b) tr(A) = 0 (c) A la puterea a doua este O_3 (d) A la a treia este O_3 (e) A la 1009 este O_3 (f) nu există A

(Daca avem voie sa folosim polinomul minimal al lui A...)