Admitere Politehnica

Daca matricele A de tip (m, n) si B de tip (n, m),cu elemente din R si 2≤n≤m≤3 verifica
4(AB)^3+3(AB)^2+2(AB)+I_m=O_m,
atunci care este raspunsul corect
a) m=2 b) m=3 c) n=2 d) m=n e) (AB)^4=I_m f) det(AB)=0
Clar det(AB)este nenul, ma gandesc ca raspunsul corect ar fi e) dar nu stiu cum sa ajung acolo...

[Citat] Admitere Politehnica Daca matricele A de tip (m, n) si B de tip (n, m),cu elemente din R si 2≤n≤m≤3 verifica 4(AB)^3+3(AB)^2+2(AB)+I_m=O_m, atunci care este raspunsul corect a) m=2 b) m=3 c) n=2 d) m=n e) (AB)^4=I_m f) det(AB)=0 Clar det(AB)este nenul, ma gandesc ca raspunsul corect ar fi e) dar nu stiu cum sa ajung acolo...

Consideram matricea C = AB.
Aceasta are polinomul caracteristic

4x³ + 3x² + 2x + 1

care are o radacina reala si doua alte radacini (nereale,) complex conjugate.


sage: ( 4*x^3+3*x^2+2*x+1 ).roots( ring=QQbar )
[(-0.6058295861882680?, 1),
(-0.0720852069058660? - 0.6383267351483765?*I, 1),
(-0.0720852069058660? + 0.6383267351483765?*I, 1)]


Deoarece sunt deja trei valori proprii diferite nenule, cele de mai sus, matricea C este o matrice 3x3 cu aceste valori proprii. (C este fie 2x2, fie 3x3.)

C nu are valoarea proprie 0, deci det(C) nu este zero. Astfel excludem (f).
Nici o valoare proprie "x" nu satisface x^4 = 1, deci (e) este exclus.
Nu putem avea m = 2 sau n = 2. Intr-un caz nu dam de o matrice 3x3, in celalalt matricea este una 3x3, dar cu rang maximal rang(A) si rang(B), deci maximal 2. Astfel excludem (a), (c).

Trebuie sa avem m = n = 3 si o situatie foarte speciala pentru C.

Multumesc mult !