Doua pătrate de laturi egale cu 1 avand laturile paralele se intersectează sub forma unui dreptunghi de arie 1/8. Aflați valorile minima si maxima a distanței dintre cele două pătrate.

[Citat] Doua pătrate de laturi egale cu 1 avand laturile paralele se intersectează sub forma unui dreptunghi de arie 1/8. Aflați valorile minima si maxima a distanței dintre cele două pătrate.

De curiozitate, ce înseamnă distanța dintre două pătrate (care au intersecția nevidă)?

Imi cer scuze! Enunțul corect este distanța dintre centrele celor două patrate. Problema a fost propusă la OBMJ 2003, dar nu am gasit o rezolvare. M-am gandit sa aflu acele distante folosind metoda multiplicatorului lui Lagrange, dar nu stiu cum as putea face asta.Cum problema a fost propusă la juniori evident exista si o alta metoda, dar nu am gasit pana acum.

Sa fixam unul din patrate, cel mai simplu, acesta este patratul (plin)
P = [0,1] x [0,1]
cu centrul in (1/2, 1/2).

Consideram patratul (plin) Q(x,y) de latura 1 care intersecteaza P in dreptunghiul
[0,x] x [0,y]
de arie 1/8.
Deci xy = 1/8. Deoarece x,y pot lua doar valori in [0,1], rezulta ca x, y iau valori in [1/8, 1], de asa natura incat produsul lor este fixat, 1/8.

Centrul (de simetrie, de greutate) al lui Q(x,y) este punctul
(x-1/2, y-1/2).

Distanta dintre acest punct si punctul (1/2, 1/2), luata la patrat este
(1-x)² + (1-y)² .

Ni se cer asadar valoarea minima si valoarea maxima pentru aceasta expresie.
(De fapt pentru radicalul ei, dar nu aceasta este problema...)

Acestea se ating pentru
x si y = 1/2 +/- radical(2)/4 -> minimul 3/4
si
x = y = radical(2)/4 -> maximul 9/4 - radical(2) .

De aici totul este relativ usor...

Multumesc frumos!