problema de clasa a 10-a...manual de Burtea...
Daca trebuie sa gasesc o functie f ce verifica 2f(3-2x)+f(3/2-x/2)=x, pentru orice x real...se poate sa ajung sa gasesc f fara a presupune ca e de gradul 1 ? gasesc doar ca f(1)=1/3...

[Citat] problema de clasa a 10-a...manual de Burtea... Daca trebuie sa gasesc o functie f ce verifica 2f(3-2x)+f(3/2-x/2)=x, pentru orice x real...se poate sa ajung sa gasesc f fara a presupune ca e de gradul 1 ? gasesc doar ca f(1)=1/3...

Care este enuntul exact al problemei?
Nu vad de ce sa nu existe o infinitate de astfel de functii...
De unde vine presupunerea ca f este functie de gradul I ?

În ediția pe care o am eu a manualului menționat, problema e așa:

Nu m-am gândit la problemă, pentru moment.

[Citat] În ediția pe care o am eu a manualului menționat, problema e așa:

in enunt se cere sa se studieze bijectivitatea functiei respective, iar la raspuns este data o functie de gradul 1...

[Citat] in enunt se cere sa se studieze bijectivitatea functiei respective, iar la raspuns este data o functie de gradul 1...

Este foarte neclar care functie din care carte.
Scrieti aici TOTUL, toata informatia pe care o aveti, intr-un stil mai putin telgrafic:

- care este enuntul complet al problemei, exact asa cum apare el.
- ce se stie despre solutie, asa cum scrie manualul? Se da de exemplu functia de gradul I fara nici o alta mentiune, asa lapidar?
(Si daca este asa, de ce postati o alta intrebare sub forma de ghicitoare dubla?)
(Si toata lumea din România accepta starea aceasta de lucruri in acest secol, probleme criptice dintr-un secol trecut?)
(Elevii nu ies pe strada cerând un invatamânt avansat pe masura propriilor puteri?)

Pagina de fata nu raspunde desigur de abuzurile de notatie si de formulare ale manualului respectiv. Daca eu comentez cumva ce trebuia sa faca autorul o fac pentru a clarifica faptul ca asa nu se face.

In general, scrieti la obiect ce se da, ce se cere, care este sursa si ce ati facut in directia solutiilor.

Enuntul cpmplet este: Sa se studieze bijectivitatea functiei f:R->R cu proprietatea ca 2f(3-2x)+f(3/2 - x/2)=x, x din R.
La raspuns in manualul sotilor Burtea apare doar f ca o functie de gradul 1. Atat.

[Citat] Enuntul cpmplet este: Sa se studieze bijectivitatea functiei f:R->R cu proprietatea ca 2f(3-2x)+f(3/2 - x/2)=x, x din R. La raspuns in manualul sotilor Burtea apare doar f ca o functie de gradul 1. Atat.

Problema se aseamna din punct de vedere al tragerii de par cu problema urmatoare:

"Care este varsta primarului din România?"

sau poate mai bine, mai la aproape de subiect:

"Este varsta primarului din România 60 de ani?"

Sunt foarte curios ce ar raspunde sotii Burtea la aceasta intrebare in mod descalificator. Iata cateva raspunsuri posibile (ale sotilor Burtea, desigur, intr-un dialog fictiv cu ei):

- Sunt mai multi primari in România, intrebarea nu este bine definita, dar daca tot trebuie sa facem ceva, unii sunt in varsta de 60 de ani, altii nu... Depinde de primar, raspunsul nu se poate da.

- Intrebarea nu are sens, nu exista "primarul României", in functia de primar se afla mai multi oameni, anume in localiti diferite, unicitatea este lezata, exprimarea lasa de dorit, cel ce formuleaza o astfel de intrebare este rugat sa invete mai intâi limba româna, cea in care comunicam si abuzam de comunicare cu totii.

- De unde ai omule asa ceva? Pleaca de aici cu stupizenia asta, citeste singur si mai invata!

In cazul nostru *chiar daca ar fi o singura functie cu proprietatea data*, tot nu ar fi permis sa ne exprimam asa.

Sa vedem de ce sunt mai multe functii.
In primul rand vedem ca exista o functie f liniara cu proprietatea din problema.

Cautam o alta functie h cu aceeasi proprietate.
Atunci diferenta g = h-f este o functie care satisface o relatie mai simpla,
se gasesc o infinitate de functii g,
substituim pentru aceasta

y = 3/2 - x/2,
rezulta succesiv
2y = 3 - x
x = 3 - 2y
3-2x = 3 - 2(3-2y) = 4y - 3

si obtinem echivalent ecuatia functionala:

2 g(4y-3) + g(y) = 0 .

De aici rezulta imediat pentru y=1 relatia g(1) = 0.
Un mod de a vedea ca avem acum o infinitate de grade de libertate este urmatorul. Notam cu Ty (fara paranteze, T(y) e prea complicat) aplicatia Ty = 4y-3 . Atunci aceasta operatie nu are cicli diferiti de T1 = 1, Nu se poate sa avem TT...T y = y pentru y diferit de 1. Plecand cu un element x0 putem atunci considera sirul indexat de un n din ZZ, pe care il obtinem aplicand T recursiv, pentru n spre infinit, respectiv inversa lui T (de |n| ori) pentru n spre minus infinit...

In fiecare astfel de sir, alegem o valoare speciala pentru g(x0), dupa care celelalte valori sunt unic definite.

De exemplu, pentru fiecare element x0 din [2,5) exista un unic A din [1,4) cu proprietatea ca x0 = 1+A . Atunci sirul xn completat recursiv prin T are formula

x(n) = 1 + A.4^n .

Definim g pentru membrii acestui sir astfel:

g( x(n) ) = Constanta . (-2)^n

sau asa ceva. (Pentru fiecare orbita putem lua alta constanta.)
Atunci ecuatia functionala vrea de la noi relatia

2g( x(n+1) ) + g( x(n) ) = 0

si noi tocmai am aranjat sa avem

2 (-2)^(n+1) + (-2)^n = 0 .

Termin aici.
Desigur ca nu ne apucam sa studiem "bijectivitatea infinitatii de primari", ar fi si culmea.
Nu inainte de a face observatia ca astfel de probleme *nu ne ajuta cu nimic*, mai rau, ele duc la discutii, in urma lor oamenii devin fie maturi, fie renunta la matematica, stampilând-o drept stiinta fara noima din care nu poti castiga o paine cinstita.
(Desigur ca nu e asa, dar ar fi asa daca am vedea toata ziua doar astfel de "probleme".)

Multumesc frumos !