Știu ca nu ar trebui sa scriu asta aici, dar următoarea problema chiar m-a făcut sa plâng (că doar ce sa faci când ai mâine examen si stai de 4 ore lângă o problemă si greșești si habar nu ai unde)Așa că rog pe cineva să se uite peste ea...

Deci...
Fie cubul ABCDA'B'C'D'.Să se arate ca MN este perpendiculara comună a dreptelor CD' si DA' dacă si numai dacă

.

Fie MN perpendiculara comună (e unică, deci e suficient să verificăm egalitatea de rapoarte). Folosiți faptul că MN este paralelă cu AC' (ambele sunt perpendiculare pe planele (A'BD) și (B'D'C). Ce obținem dacă proiectăm cubul pe un plan perpendicular pe AC'?


L.E. E mai simplă abordarea vectorială, dacă e acceptată.

Cu proiecția nu mă descurc..; (m-ați mai întrebat la o problemă cu o elipsă si, spre rușinea mea, am omorât-o acolo, tot din cauza lipsei mele totale de imaginație in spațiu.)Vectorial se acceptă da;eu nu m-am gândit nicio secunda la vectori, si nici nu știu dacă as reuși sa o fac.Să consider A originea sistemului si sa lucrez cu vectori de poziție?
Eu m-am gândit sa notez raportul cu k, am calculat MN, am intersectat D'M cu AD in P si m-am pus pe calculat in triunghiul D'PC.Treaba e ca nu mi-a dat k=1/3.

Acum am văzut soluția!Multumesc!

[Citat] https://www.geogebra.org/m/rhb5kenk

E foarte fain, chiar si pentru mine care manifest handicap pronunțat fata de proiecții..l-am întors pe toate fetele, dar...Cred că tot soluția vectoriala e mai Ok, cel puțin pentru mine.

Dacă proiectăm cubul pe un plan perpendicular pe AC', punctele A şi C' vor coincide; la fel şi M,N (deoarece MN||AC'). Iată ce vom vedea:



Se observă uşor acum că DM/MA'=DD'/A'C=1/2 (am notat proiecţiile cu aceleaşi litere, pentru simplificare).

Genial

Imi cer scuze de interventie dupa o asemenea solutie frumoasa si exceptionala.
E doar ca sa arat cat de simplu stau lucrurile daca ne concentram in viata pe lucruri seci.

Problema ar trebui sa ne spuna ca M si N sunt pe cele doua diagonale.
Atunci fara a restrange generalitatea putem lua reperul de coordonate incat:

D(0,0,0)
A(3,0,0)
C(0,3,0)
D'(0,0,3)

dupa care folosind unicitatea lui MN luam cele doua puncte unde ne promite problema ca sunt, deci deducem pe rand:

M(0,1,2)
A'(3,0,3)
N(1,0,1)

NM = M-N = (-1,1,1)
DA' = A'-D = (3,0,3)
CD' = D'-C = (0,-3,3)

si vedem ca cele doua produse scalare MN.DA' si MN.CD' se anuleaza.
Cer scuze inca o data, personal am ratat des puncte cautand solutia frumoasa, desi o puteam gasi imediat pe aceasta...

[Citat] Imi cer scuze de interventie dupa o asemenea solutie frumoasa si exceptionala. E doar ca sa arat cat de simplu stau lucrurile daca ne concentram in viata pe lucruri seci. Problema ar trebui sa ne spuna ca M si N sunt pe cele doua diagonale. Atunci fara a restrange generalitatea putem lua reperul de coordonate incat: D(0,0,0) A(3,0,0) C(0,3,0) D'(0,0,3) dupa care folosind unicitatea lui MN luam cele doua puncte unde ne promite problema ca sunt, deci deducem pe rand: M(0,1,2) A'(3,0,3) N(1,0,1) NM = M-N = (-1,1,1) DA' = A'-D = (3,0,3) CD' = D'-C = (0,-3,3) si vedem ca cele doua produse scalare MN.DA' si MN.CD' se anuleaza. Cer scuze inca o data, personal am ratat des puncte cautand solutia frumoasa, desi o puteam gasi imediat pe aceasta...

Practic, e soluția vectorială de mai sus, în care luăm din start a=b=1/3...