Scuze,ecuatia era 3x^2 - 2xy - y - 1 = 0
Pana la urma am rezolvat aceasta ecuatie.

Acum am niste probleme de algebra pe care nu am nicio idee cum sa le rezolv.La unele am inceput rezolvarea,dar am ajuns la o etapa la care nu mai stiu cum sa continui.Va rog,ajutati-ma.

1.Fie a,c numere reale pozitive cu proprietatea a+b = a^3 + b^3 = a^5 + b^5.
Sa se arate ca a^2 + b^2 = a^4+b^4 = a^6 + b^6.

2.Sa se compare numerele:
a=((radical din 2) + 1 )x((radical din 3)- radical din 2)x...x((radical din 2n)+ radical din (2n-1))x((radical din (2n+1))- radical din (2n))
b=((radical din 2) - 1 )x((radical din 3)+ radical din 2)x...x((radical din 2n)- radical din (2n-1))x((radical din (2n+1))+ radical din (2n)),n apartine N*

3.Fie a1,a2,...,a1999 numere intregi distincte mai mari sau egale cu 2.(numerele 1,2,...1999 reprezentand indicii).Demonstrati ca

(1- 1/(a1)^2)x(1- 1/(a2)^2)x...x(1- 1/(a1999)^2)mai mare sau egal cu 2001/4000.

4.Sa se arate ca,daca (1/a) + (1/b) + (1/c) = 1/(a+b+c),atunci (1/a^1995) + (1/b^1995) + (1/c^1995) = 1/(a^1995 + b^1995 + c^1995).

5.Daca a,b,c sunt numere reale pozitive diferite de 0 si radical din (ab) + radical din (bc) + radical din (ca) = 1,sa se determine valoarea minima a expresiei E= (a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a) + (c^2)/(a+b).

[Citat] Scuze, ecuatia era 3x^2 - 2xy - y - 1 = 0 Pana la urma am rezolvat aceasta ecuatie.

A fost intr-adevar greu de ghicit care este enuntul dorit.

Pentru ecuatia de mai sus probabil ca cel mai simplu este din nou sa izolam variabila in gradul I, anume y, obtinem echivalent

( 3xx - 1 ) = (2x+1)y , de aici echivalent

4y = 4 (3xx-1) / (2x+1) , i.e.

4y = ( 3(2x+1)(2x-1) -1 ) / (2x+1) , i.e.

4y = 3(2x-1) - 1/(2x+1) .

Avem doar doua valori intregi ale lui x care fac fractia 1/(2x+1) intreaga, de aici lucrurile se termina repede.

[Citat] 1. Fie a,b numere reale pozitive cu proprietatea a+b = a^3 + b^3 = a^5 + b^5. Sa se arate ca a^2 + b^2 = a^4+b^4 = a^6 + b^6.

Deoarece a,b > 0 putem imparti cu a+b in relatiile date
a+b = a^3 + b^3
a+b = a^5 + b^5

si obtinem:

a² - ab + b² = 1 si
a? - a³b + a²b² - ab³ + b? = 1 (EDIT!)

Ridicam prima relatie la patrat si scadem ceea ce obtinem din a a doua.
Dam de
(a-b)² ab = 0
De aici a=b . Rezulta cele cerute.

[Citat] 2.Sa se compare numerele: a=((radical din 2) + 1 )x((radical din 3)- radical din 2)x...x((radical din 2n)+ radical din (2n-1))x((radical din (2n+1))- radical din (2n)) b=((radical din 2) - 1 )x((radical din 3)+ radical din 2)x...x((radical din 2n)- radical din (2n-1))x((radical din (2n+1))+ radical din (2n)),n apartine N*

Este ceva necitibil. Rog a se folosi LaTeX.

[Citat] 3.Fie a1,a2,...,a1999 numere intregi distincte mai mari sau egale cu 2. (numerele 1,2,...1999 reprezinta indicii). Demonstrati ca (1- 1/(a1)^2)x(1- 1/(a2)^2)x...x(1- 1/(a1999)^2) mai mare sau egal cu 2001/4000.

Sa rezolvam impreuna urmatoarele trei probleme pe rand.
(Urasc indicii, asa ca voi folosi litere normale a,b,c.)

Fie a,b,c numere naturale >1.
Care este valoarea minima a expresiei ( 1 - 1/a² ) ?
Care este valoarea minima a expresiei ( 1 - 1/a² ) ( 1 - 1/b² ) ?
Care este valoarea minima a expresiei ( 1 - 1/a² ) ( 1 - 1/b² ) ( 1 - 1/c² ) ?


4. Care este enuntul exact? Cumva...

[Citat] 4. Fie a,b,c numere reale nenule cu suma nenula care satisfac relatia 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c) Sa se arate ca are sens si are loc 1/a^1995 + 1/b^1995 + 1/c^1995 = 1/(a^1995 + b^1995 + c^1995) .

Partea cu "are sens" este deja netriviala.
Trebuie sa aratam ca numitorul
(a^1995 + b^1995 + c^1995)
nu se poate anula.

Sa demonstram mai intai impreuna acest lucru. Apoi mai vedem.
In primul rand vedem ca daca inlocuim a,b,c cu -a, -b, -c
egalitatea data si egalitatea de obtinut devin egalitati echivalente.
Deci putem fara a restrange generalitatea sa schimbam simultan cele trei semne.

Observam ca este exclus sa avem a,b,c > 0, deoarece atunci
1/a + 1/b + 1/c > 1/a > 1/(a+b+c) .
Deci doua dintre numerele a,b,c au un semn, al treilea celalat semn.

Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca avem:
c < 0 < a,b .

Relatia data este homogena,
Putem lua de aceea c = -1 .

Cum stau lucrurile atunci? se poate sa avem anulare a numitorului din membrul drept al egalitatii de demonstrat?

[Citat] 5. Se dau a,b,c sunt numere reale > 0 care satisfac radical(ab) + radical(bc) + radical(ca) = 1 . Sa se determine valoarea minima a expresiei E = (a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a) + (c^2)/(a+b).

Care ar putea fi acest minim?

....

Da, multumesc, in coada este un unu...

Multumesc mult pentru rezolvari.
Vin cu vesti bune.Am reusit sa rezolv ex.2(acela cu multi radicali),dar nu mai scriu rezolvarea deoarece va fi necitibila eu nestiind sa folosesc Latex.
Am rezolvat si ex.3:

3.Fie a1,a2,...,a1999 numere intregi distincte mai mari sau egale cu 2.(numerele 1,2,...1999 reprezentand indicii).Demonstrati ca

(1- 1/(a1)^2)x(1- 1/(a2)^2)x...x(1- 1/(a1999)^2)mai mare sau egal cu 2001/4000.

A= [(a1)^2 - 1]/(a1)^2 x...x [(a1999)^2 -1]/(a1999)^2.
A trebuie sa fie minim.

A minim = (2^2 - 1)/2^2 x...x(2000^2 -1)/2000^2.Folosim formula(a-b)(a+b)=a^2-b^2
A minim = (2-1)/2 x (2+1)/2 x (3-1)/3 x...x(2000-1)/2000 x (2001+1)/2000
A minim = 2001/4000 mai mare sau egal decat 2001/4000

Si pe 4 am rezolvat-o...
4.Sa se arate ca,daca (1/a) + (1/b) + (1/c) = 1/(a+b+c),atunci (1/a^1995) + (1/b^1995) + (1/c^1995) = 1/(a^1995 + b^1995 + c^1995).

1/a + 1/c = 1/a+b+c - 1/b
Dupa ce aducem la acelasi numitor,mutam totul in membrul stang,iar ecuatia o sa arate cam asa:
[(a+c)(ab+b^2+bc+ac)]/[(abc)(a+b+c)] = 0
(a+c)(ab+b^2+bc+ac) = 0
(a+c)(a+b)(b+c) = 0
Apar trei cazuri,a=-c,a=-b sau b=-c.Dupa ce luam la rand toate cazurile,vom constata ca toate indeplinesc cerinta.

La ex.5 E este minim daca a,b,c sunt minime?

[Citat] 5. Se dau a,b,c sunt numere reale > 0 care satisfac radical(ab) + radical(bc) + radical(ca) = 1 . Sa se determine valoarea minima a expresiei E = (a^2)/(b+c) + (b^2)/(c+a) + (c^2)/(a+b).

De obicei se poate banui *psihologic* ca expresia ia valoarea minima pentru a=b=c.
De ce?
Deoarece daca ar avea minimul intr-un punct nesimetric, (a',b',c'),
atunci am avea si in toate permutarile de componente un astfel de minim.
O functie de acest fel este destul de greu de construit.

Pentru o functie in doua variabile putem desena in gand.
Daca avem o functie (a,b) -> h(a,b) definita pe tot planul real sau doar pe o bucata ce contine (b,a) odata cu (a,b),
atunci in majoritatea cazurilor (unei probleme de olimpiada) avem un minim global intr-un punct din interiorul domeniului.
Daca incercam sa desenam graficul in jurul unui astfel de punct, desenam de obicei un ceaun.

Daca avem un punct (a',a') in care banuim minimul global, nu avem probleme cu desenatul ceaunului.
Daca avem insa un punct (a',b') cu componentele diferite, atunci trebuie sa avem un minim global si in (b',a').
Deja avem probleme cu desenatul, poate ca mergem cu gandul la un fel de uger de vaca daca mai avem si 3 dimensiuni si 3! permutari.
Nu dam de ceaun. Este foarte greu de construit astfel de exemplu folosind functii polinomiale si legaturi polinomiale.

Acum la problema.
Sa incercam mai intai sa demonstram urmatoarea forma a inegalitatii Cauchy-Schwarz: