Aratati ca numarul

.

Numarul 2009 are suma cifrelor 11=3k+2 deci nu este patrat perfect.Deci radacina patrata nu e numar rational

[Citat] Numarul 2009 are suma cifrelor 11=3k+2 deci nu este patrat perfect.Deci radacina patrata nu e numar rational

Asta da "justificare sub?ire" Trebuie m?car men?ionat c? un num?r este congruent cu suma cifrelor sale modulo 3 (sau 9), ?i c? -1 nu e rest p?tratic modulo 3.
Altfel, era mai simplu s? spunem c? 2009 nu e p?trat perfect

.

Altceva era dac? num?rul era

Un mod de a argumenta este urmatorul (pentru a fi cat mai aproape de demonstratia de la scoala sau care macar ar fi trebuit sa fie data la scoala):

Presupunem (prin absurd) ca numarul dat, radical din 2009, este rational.
Atunci gasim o fractie M/N cu M,N numere naturale >0 ca reprezentarea a lui.
Fara sa restrangem generalitatea putem presupune ca fractia M/N e ireductibila.
Ridicand la patrat si amplificand cu numaratorul dam de egalitatea (din IN):

Deoarece 2009 se divide prin 41, numarul M^2 se divide prin 41.
Deoarece 41 divide produsul M.M, rezulta ca divide unul din factori, deci putem scrie
M = 41 m
cu un m natural convenabil. Revenim la celede mai sus, inlocuim M cu 41m si simplificam. Dam de:

Rezulta ca 41 divide 49.N.N, deci divide N (deoarece este prim cu 49).

Deci 41 divide atat M cat si N.

Obtinem o contradictie cu faptul ca M si N sunt prime intre ele (i.e. cu faptul ca fractia M/N este ireductibila).
Presupunerea facuta este falsa. Deci contrariul este adevarat.

De notat ca (ideea din) demonstratia de mai sus a fost cunoscuta inca din antichitate, ea a impregnat notiunea de numar rational pana in zilele noastre, a oferit un suport abstract "palpabil" pentru filozofia din antichitate, baza a filozofiei "apusene", indirect a gandirii geometrice din evul mediu renascentist (dupa cel intunecat ce a ras cu buretele tot ce se stia pe vremuri), iar mare parte din arta evului mediu este bazata pe constructii dezvoltate in acea vreme. Faptul ca numarul de aur (care are de-a face ceva cu radical din cinci) este construibil cu rigla si compasul, a intrigat pe cei din vremea antica atat de mult incat in matematica evului mediu prelungita chiar si pana acum, distinctia dintre numere algebrice si transcendente a devenit o "tema prelungita" pe aceeasi tema. Ea a dus din nou filozofia ceva mai departe sau in alta directie decat daca s-ar fi dus ea fara aceasta piatra de incercare.

Recomand incercarea de intelegere a irationalitatii lui radical din 2 (sau a lui radical din 5 sau a lui radical din 2009) ca un prim pas calitativ in gandirea matematica si a intelegerii spiritului european.

N.B. Grecii antici au preluat cunostiintele lor prin schimbul comercial cu fenicienii, care la randul lor se pare ca si-au adunat bruma de cunoastere de la egipteni.

Prea multa complicare ar zice elevul din ziua de azi, care are un simt practic foarte bine dezvoltat.
Nu e clar ca, din moment ce 2009 nu-i patrat perfect, radical din el nu e numar rational??
Cum ar putea fi o fractie la patrat egala cu un numar natural, daca fractia nu-i numar natural?? E chestie de bun simt, la ce sa ne invartim in jurul cozii cu atatea divizibilitati, ar zice un elev. Si s-ar putea sa aiba un pic de dreptate, ca la noi exista o traditie de a demonstra lucruri evidente in moduri cat mai complicate.
Si in manuale, de altfel, e o abordare mult prea teoretizata, arida si abstractizata care , de cele mai multe ori, chiar nu-si are rostul si nu face decat sa indeparteze elevii de matematica!

[Citat] Prea multa complicare ar zice elevul din ziua de azi, care are un simt practic foarte bine dezvoltat. Nu e clar ca, din moment ce 2009 nu-i patrat perfect, radical din el nu e numar rational?? Cum ar putea fi o fractie la patrat egala cu un numar natural, daca fractia nu-i numar natural?? E chestie de bun simt, la ce sa ne invartim in jurul cozii cu atatea divizibilitati, ar zice un elev. Si s-ar putea sa aiba un pic de dreptate, ca la noi exista o traditie de a demonstra lucruri evidente in moduri cat mai complicate. Si in manuale, de altfel, e o abordare mult prea teoretizata, arida si abstractizata care , de cele mai multe ori, chiar nu-si are rostul si nu face decat sa indeparteze elevii de matematica!

Depinde cui ne adresam aici. Pentru marea masa a elevilor, sunt de acord ca nu vor avea nevoie mai mult decat sa simta empiric ca radical dintr-un numar care nu este patrat perfect nu este rational. Nu putem insa trata astfel toti elevii. Postarea de mai sus a lui gauss se adreseaza in special acelor elevi care doresc sa se ridice pe o treapta superioara de intelegere a matematicii.

Aceasta discutie o vad legata de ceea ce spune Radu Gologan despre a-i invata pe elevi despre "demonstratii"

http://www.hotnews.ro/stiri-opinii-8322212-radu-gologan-coordonatorul-olimpicilor-matematica-fiecare-judet-trebuie-existe-cate-clasa-excelenta-scoli-traditie.htm

Daca asta e elevul din zilele noastre, atunci el este rau oprimat sa inteleaga ca exista teoria divizibilitatii in ZZ, cand de fapt ii ajunge ceva de forma

(17:10) gp > sqrt(2009.)
%1 = 44.82186966202994080541752372

(deci "cam 45, ce mai...")

Dar sa lasam pe elevul din ziua de azi sa decida singur daca citeste un blog, un ziar, o carte sau un manual.

(Si asa vine vorba "ne bucuram" ca isi citeste enuntul temei. Ei bine, lucrul asta nu este valabil pentru cam 2% dintre elevi care se bucura ca undeva e ceva cu ce sa inceapa in viata. Daca eu scriu cele de mai sus, poate ca cele de mai sus au un sens. La timpul meu m-as fi bucurat de asa ceva. Iar daca matematica e prea complicata intr-un loc in care devine in sfarsit structurala si simpla, ce sa luam in loc? Biologie sau fotbal?!
Iar daca ma insel cu acele 2%, fie ele si 0,002% - inca ma simt norocos.)

Ce e complicat sau nelalocul sau in cele de mai sus? (Si vreau un raspuns simplu, desigur...)
(De ce primul pas in teorie Galois, numere p-adice si valuari, sau pur si simplu aritmetica si teoria numerelorin general sa ramana nediscutat? De ce sa ascundem elevilor ideea dintr-una din metodele principale de demonstratie a lipsei solutiei pentru ecuatia Diofantiana cea mai simpla, anume descindere ~ descent ~ Abstieg :: sau cum sa o prezentam mai bine?!)

Sa rezolvam de exemplu o problema (cunoscuta) "de nivelul nostru" si apoi sa discutam despre ce experienta este nevoie pentru a o intelege. De exemplu:
Sa se demonstreze ca polinomul in necunoscuta (transcendenta) X, obtinut dupa efecutarea impartirii

este ireductibil.

Care este rezolvarea "seaca" pentru cele de mai sus si ce trebuie sa le spunem acum copiilor ca sa inteleaga asa ceva imediat la facultate? Si de ce trebuie un mesaj pe un blog/forum sa fie scurt si sec cand copiii trebuie sa scrie pagini cu kilele in tot felul de teze si examene? Daca incepem sa "minimalizam enunturile" ne indreptam in directia gresita. Eu ma bucur cand elevii isi iau inima-n dinti si tiparesc aici sau aiurea un gand, din partea mea pot fi la o prima instantza si greseli de gramatica, exprimare, ordonarea a gandurilor... O sa raspund intotdeauna cu un stil "oral", insa niciodata cu unul din "manual" (anume din cele din zilele mele si din cele de azi..).

Avem deci doua probleme:

De ce e polinomul de mai sus ireductibil?

Cum sa ii invatam pe elevi matematica si cum sa invatam noi de la noi sa-i invatam? (Si nu cum sa ne evaluam noi unul altuia metodele de prezentare...)