Problema.

Jeleuri
Grup: membru
Mesaje: 5
21 Jun 2012, 02:55

[Trimite mesaj privat]

Problema. [Editează] [Citează]

Pentru fiecare numar natural n, n >=3, notam cu a(n) numarul triunghiurilor de perimetru n cu toate lungimile laturilor exprimate prin numere naturale- de exemplu a(3)=1 si a(4)=0. Sa se arate ca a(2012)=a(2009).

---
j

Euclid
Grup: Administrator
Mesaje: 2659
20 Jun 2012, 22:03

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]
Pentru fiecare numar natural n, n >=3, notam cu a(n) numarul triunghiurilor de perimetru n cu toate lungimile laturilor exprimate prin numere naturale- de exemplu a(3)=1 si a(4)=0. Sa se arate ca a(2012)=a(2009).

Sa notam cu

multimea ce reprezinta toate triunghiurile cu pricina. Functia

este bine definita si evident injectiva. Aceasta functie este si surjectiva, deoarece

Motivul: daca prin absurd am avea un element cu

, pentru acest triunghi ar rezulta ca

concomitent cu

, adica neaparat

. Dar numarul

este par...

---
Euclid

gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
21 Jun 2012, 02:55

[Trimite mesaj privat]

[Editează] [Citează]

[Citat]
Pentru fiecare numar natural n, n >=3,
notam cu a(n) numarul
claselor de congruenta de
triunghiuri de perimetru n cu toate lungimile laturilor exprimate prin numere naturale- de exemplu a(3)=1 si a(4)=0.

Sa se arate ca a(2012) = a(2009).

Vazusem problema, am tiparit repede ceva in sage, am dat de acelasi numar si nu am vazut nici o bijectie... Acum, lucrurile sunt clare, poate devin si mai clare pe exemple:

Solutia cu calculatorul si ceva mai mult, acest ceva mai mult conteaza de fapt si incearca sa ilustreze ideea de mai sus, stiind solutia putem sa banuim ca a(n) = a(n+3) pentru n impar (si n+3 par):
COD SAGE

def a(n, arata_mi=False):
contor = 0
lista = []
for i in [1..n]:
for j in [i..n]:
k = n-i-j
if i <= j and j<=k and k < i+j:
contor += 1
if arata_mi: lista.append( str((i,j,k)) )
return contor, lista

for n in [2009, 2012]:
an, lista = a( n, False );
print "a(%2d) = %3d" % ( n, an )

for n in [17, 20]:
an, lista = a( n, True );
print "a(%2d) = %3d ... Lista: %s" % ( n, an, ', '.join(lista) )

for n in [15, 18]:
an, lista = a( n, True );
print "a(%2d) = %3d ... Lista: %s" % ( n, an, ', '.join(lista) )

for n in [1..20]:
an, lista = a( n, True );
print "a(%2d) = %3d ... Lista: %s" % ( n, an, ', '.join(lista) )

Salata de informatii:

a(2009) = 84336
a(2012) = 84336

a(17) = 8 ... Lista: (1, 8, 8), (2, 7, 8), (3, 6, 8), (3, 7, 7), (4, 5, 8), (4, 6, 7), (5, 5, 7), (5, 6, 6)
a(20) = 8 ... Lista: (2, 9, 9), (3, 8, 9), (4, 7, 9), (4, 8, 8), (5, 6, 9), (5, 7, 8), (6, 6, 8), (6, 7, 7)

a(15) = 7 ... Lista: (1, 7, 7), (2, 6, 7), (3, 5, 7), (3, 6, 6), (4, 4, 7), (4, 5, 6), (5, 5, 5)
a(18) = 7 ... Lista: (2, 8, 8), (3, 7, 8), (4, 6, 8), (4, 7, 7), (5, 5, 8), (5, 6, 7), (6, 6, 6)

a( 1) = 0 ... Lista:
a( 2) = 0 ... Lista:
a( 3) = 1 ... Lista: (1, 1, 1)
a( 4) = 0 ... Lista:
a( 5) = 1 ... Lista: (1, 2, 2)
a( 6) = 1 ... Lista: (2, 2, 2)
a( 7) = 2 ... Lista: (1, 3, 3), (2, 2, 3)
a( 8) = 1 ... Lista: (2, 3, 3)
a( 9) = 3 ... Lista: (1, 4, 4), (2, 3, 4), (3, 3, 3)
a(10) = 2 ... Lista: (2, 4, 4), (3, 3, 4)
a(11) = 4 ... Lista: (1, 5, 5), (2, 4, 5), (3, 3, 5), (3, 4, 4)
a(12) = 3 ... Lista: (2, 5, 5), (3, 4, 5), (4, 4, 4)
a(13) = 5 ... Lista: (1, 6, 6), (2, 5, 6), (3, 4, 6), (3, 5, 5), (4, 4, 5)
a(14) = 4 ... Lista: (2, 6, 6), (3, 5, 6), (4, 4, 6), (4, 5, 5)
a(15) = 7 ... Lista: (1, 7, 7), (2, 6, 7), (3, 5, 7), (3, 6, 6), (4, 4, 7), (4, 5, 6), (5, 5, 5)
a(16) = 5 ... Lista: (2, 7, 7), (3, 6, 7), (4, 5, 7), (4, 6, 6), (5, 5, 6)
a(17) = 8 ... Lista: (1, 8, 8), (2, 7, 8), (3, 6, 8), (3, 7, 7), (4, 5, 8), (4, 6, 7), (5, 5, 7), (5, 6, 6)
a(18) = 7 ... Lista: (2, 8, 8), (3, 7, 8), (4, 6, 8), (4, 7, 7), (5, 5, 8), (5, 6, 7), (6, 6, 6)
a(19) = 10 ... Lista: (1, 9, 9), (2, 8, 9), (3, 7, 9), (3, 8, 8), (4, 6, 9), (4, 7, 8), (5, 5, 9), (5, 6, 8), (5, 7, 7), (6, 6, 7)
a(20) = 8 ... Lista: (2, 9, 9), (3, 8, 9), (4, 7, 9), (4, 8, 8), (5, 6, 9), (5, 7, 8), (6, 6, 8), (6, 7, 7)

---
df (gauss)