In

cu

se ia punctul

astfel incat

.Aflati

.

Solutia pe care am gasit-o cel mai repede si usor este urmatoarea, care paraseste din pacate clasa a VI-a:

Avem "figura" urmatoare:

Atunci laturile a,b,c ale lui ABC sunt proportionale dupa cum urmeaza:

a : b : c corespunde cu sin 100 : sin 40 : sin 40

Cautam unghiul ADC de masura x.
Unghiurile lui ADC sunt atunci 100 in A, x in D si 80-x in C.
Putem scrie atunci pe aceeasi tema ecuatia in unghiul x:

(Am incercat sa nu omit nici un pas.)
Deja se vede ca x egal cu 30 de grade este solutie.
Din considerente geometrice si faptul ca am transformat egalitatile prin echivalente, aceasta este singura solutie in intervalul dintre 0 si 40 de grade, unde ne asteptam sa se afle x-ul din motive de constructie.

Solutia de clasa a VI-a pe care am gasit-o dupa cea de mai sus (de a IX-a poate) a iesit dupa "schema lui Nelu", Nelu fiind fratele meu (mai mare). Ideea este de a construi atatea triunghiuri echilaterale (sau in general mai "speciale") in jurul unei astfel de figuri, pana cand iese problema.

Desigur ca schema nu este aplicabila decat pentru anumite tipuri de probleme.
Pentru a o putea aplica, "mut batul de chibrit" din D pana in A pe aceeasi dreapta, pana cand D ajunge in B.
Desigur ca unghiul de calculat se muta si el, dar dam de o problema echivalenta.

Plecand deci cu problema pentru figura

reformulam echivalent pe o alta figura, de asa natura incat problema de plecare este greu de recunoscut.


Fie B,C doua puncte diferite in plan.
(Figura de mai jos e rea rau, o folosesc doar ca jalon de orientare.)
Construim triunghiul echialteral XBC.
(Unul cele doua triunhgiuri posibile. Eu iau X "deasupra".)

Cele doua trisectorare ale unghiurilor <(XBC) si <(XCB) au punctul deja notat cu A mai sus in comun, este vorba de cele doua trisectoare ce formeaza cu BC unghiuri de 40 de grade.

Prelungim BC dincolo de A pana dam de un punct Y cu
BY = BX = CX = BC .

Construim paralelogramul YACZ, astfel obtinand unic punctul Z.
Este clar ca DB si CZ sunt segmente paralele si egale (congruente), deci in loc sa ne ocupam de unghiul <(ADC) ne putem ocupa cu mai multa tragere la inima de
unghiul <(ABZ) sau echivalent de <(ZBC).

Iata cum putem acum argumenta pe figura de mai sus.
(Nu ne trebuie tot ce urmeaza, dar e bine sa vedem care sunt toate detaliile calculabile pe figura.)

Triunghiul XBY este isoscel, are un unghi de 20, celelalte sunt 80,80.

Triunghiul CBY este isoscel, are un unghi de 40, celelalte sunt 70,70.

Unghiul <(YXC) este de 80-60 = 20 de grade.

Unghiul <(YCX) este de 70-60 = 10 de grade.

Unghiul <(ZCX) este de 180-60-40 = 80 de grade.

Unghiul <(YAC) este de 180-100 = 80 de grade. Deci paralelogramul YACZ are unghiurile de 100, 80, 100, 80 de grade.

Deoarece <(XYB) + <(BYZ) = <(XYB) + <(AYZ) = 80 + 100 = 180 de grade, rezulta ca X,Y,Z sunt coliniare.

Unghiurile triunghiului XCZ sunt 20, 80, 80 de grade, deci este isoscel. (Nota: Y e pe XZ!)

Deci XCZ este isoscel, de unde deducem ca punctele B,C,Z de afla pe cercul de centru X cu raza egala cu latura triunghiului echilateral XBC. Deci unghiul inscris <(ZBC) este jumatatea unghiului la centru <(ZXC) = 20.

Deci <(ZBC) are 10 grade, iar <(YBZ) = <(ADC) = 40-10 = 30 de grade.

Schema lui Nelu e buna...

"Schema lui Nelu e buna..."...da' complicata rau...!

Bun, se pare ca vina e de partea mea, nu a schemei.
Incerc sa plasez doar punctele, fara sa mai trasez linii.

Dau o solutie putin schimbata, care e suficient de buna de explicat la nivel de a VI-a.

Fie A,B,C,D ca in enunt.
(i) Construim E pe AC) astfel incat DEA este isoscel.
(ii) Construim paralelogramul DBCF.

Rezolvarea este acum usor de urmarit:

(1) Unghiurile triunghiului isoscelDEA sunt 20,80,80, deoarece stiam A=100...
(2) Triunghiul DEF are deci in D un unghi de 20+40 = 60 de grade si este isoscel, DE = DA = BC = DF . Deci DEF echilateral. Schema lui Nelu este plasata in alt mod...
(3) Paralelogramul DBCF are unghiurile 40, 140, 40, 140.
(4) Triunghiul EFC are unghiurile C = 40+40 = 80, F = 140-60 = 80, iar pentru unghiul din A mai raman 20 de grade. (Nu ne trebuie, dar e bine sa ne uitam cum stau triunghiurile EFC si DEA in figura. Schema lui Nelu se aplica cu placere doar daca avem astfel de efecte cinematografice in mijlocul actiunii.)
(5) Deci EFC isoscel. Deci EC = EF = ED, de unde rezulta ca D,F,C se afla pe un cerc cu centrul in E. Unghiul inscris in acest cerc, <(CDF), este atunci jumatate din unghiul la centru <(CEF), deci de 10 grade. Pentru <(BDC) raman doar 40-10 = 30 de grade.

Se poate evita interven?ia cercului din finalul rezolv?rii. Se observ? c? EDC=isoscel, iar de aici unghiul CDF are 10 grade.

Solutii frumoase ce sa zic...
Solutia mea este urmatoarea fara paralelogram si fara cerc...)
Cu o figura alaturi,zicem asa:
1)Prelungim

cu segmentul

.

este deci isoscel,cu

.
2)Construim

isoscel,

.Avem

deci

.
3)Construim

echilateral

,deoarece

.Vom avea

. Inseamna ca

fiind egal departat de capetele segmentului

apartine mediatoarei lui

,care la randul ei este si bisectoarea

. Inseamna ca

.Avem

(L.U.L)deci

si cum unghiul

este exterior triunghiului

avem

.
Cam asta ar fi !

[Citat] In cu se ia punctul astfel incat .Aflati .

Uploaded with ImageShack.us

Iau punctul E pe BC astfel ca BD=BE. Rezulta ca unghiurile BDE si DEB sunt de cate 20 grade, iar triunghiul CAE este isoscel. Fie G si F proiectiile punctelor C si E pe AE, respectiv AB.
EF=AE/2=GE, de unde congruenta triunghiurilor EFD si EGC(cateta,unghi). De aici DE=EC si apoi unghiurile EDC si ECD au cate 10 grade. Deci unghiul cerut e de 30 grade.

Bun, daca tot colectam tot ce putem, iata inca una care se leaga de punctul M (din penultima solutie) respectiv E (din ultima).

Probabil ca nu o sa ma credeti din prima ca
DM = MC = AC = AB si ca
DB = BM = MO = OC = OA .

Dar imediat se schimba lucrurile...

(1) Punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului isoscel CAM (CA=CM) este pe bisectoarea din C, deci <(OCA) = <(OCM) = 40/2 = 20 de grade.
Deci unghiurile triunghiului isoscel MOC sunt 20, 20, 140.
Acestea sunt si unghiurile lui MBD din constructie.

(2) In particular, D,M,O sunt coliniare.
Ne uitam acum mai indeaproape la triunghiul DAO.
Unghiul lui din O este
<(AOD) = <(AOM) = 2 ori <(ACM) = 2 x 40 = 80 .
Unghiul lui din A este desigur
<(DAO) = <(BAO) = <(BAC) - <(OAC) = 100 - 20 =80.

Deci DAO este isoscel, deci
DO = DA = BC .

(3) Din asemanarea DBM ~ MOC si din DM + MO = BM + MC (si BM < DM) rezulta ca raportul de asemanare este unu. Deducem DM = MC.

(4) Unghiul <(BDC) este atunci suma unghiurilor <(BDM) si <(MDC) din cele doua triunghiuri isoscele, deci 20+10 = 30.

SUNTETI SUPER ! Mi-a placut la nebunie....