[Citat]

Acel semn

sigur trebuie sa fie in enunt? N-ar strica sa redactati enuntul fara a face economie de cuvinte ca sa intelegem problema.

" Sa se arate ca intre 2 puteri consecutive ale lui 3 exista cel putin o putere a lui 2 si cel mult 2 puteri ale lui 2."

( exponentii lui 2 si 3 sunt numere naturale)

Obs.

Plecand de la cateva exemple, se poate vedea ca uneori exista o singura putere a lui 2, alteori exista doua puteri ale lui 2 situate intre doua puteri consecutive ale lui 3.
Trebuie sa rezolv problema la nivel de clasa a 6 -a .Ceea ce stiu, clar, sunt n si n+1 oricare doua puteri consecutive ale lui 3. (

)

Cum stapanesc doar timid LATEX-ul, a rezultat o forma (varianta)... deficitara... a enuntului problemei .

Sa fixam o putere a lui trei pe care o notam cu T (de la trei). La nivel de a 6-a as lua 9x81=729.

Acum trebuie sa apelam la intuitia despre infinit a elevilor de a 6-a, spunandu-le ca exista o cea mai mare putere a lui doi, notata D, care este mai mica decat T. (Strict mai mica! Ar fi culmea sa fie egale, la nivel de a 6-a ne uitam la paritate pentru convingere imediata.)

Din conditia de maximalitate dam de
D < T < 2D
imediat. (2D nu poate fi sub T, deoarece D era maximal cu proprietatea ca...)
Scriem atunci cu curaj si
D < T < 2D < 3T
si rugam elevii sa explice cam de ce...

La clasa este poate bine (sau rau) sa se spuna despre exemplul ales ca avem
T "este" "sapte sute si ceva",
D "este" "cinci sute si ceva",
2D "este" "o mie si ceva",
4D "este" "cam doua mii si ceva"
3T ...

Ora se poate termina oricand daca scriem pe tabla
512 < 729 < 1024 < 2048 < 2187 ...

(De ce nu mai incape inca o putere a lui doi? De ce nu putem avea ceva de forma
D < T < 2D < 4D < 8D < 3T ? Pentru ca atunci si 6D < 3T , impartim cu 3... )