Fie

o progresie aritmetic? cu proprietatea c?

sunt, de asemenea, termeni ai acestei progresii. S? se arate c? to?i termenii progresiei sunt numere întregi.

[Citat] Fie o progresie aritmetic? cu proprietatea c? sunt, de asemenea, termeni ai acestei progresii. S? se arate c? to?i termenii progresiei sunt numere întregi.

Eu m-am gîndit a?a:
Fie

ra?ia progresiei.
Atunci

În plus, cum ?i p?tratele acestor termeni sînt în aceea?i progresie, înseamn? c? diferen?ele lor trebuie s? fie de cîteva ra?ii, adic?:

Din acestea dou? ob?inem c? ra?ia este un num?r întreg ?i, astfel, to?i termenii.

EDIT: Care este sursa problemei, c? pare aproape standard?
Mul?umesc.

[Citat] [Citat] Fie o progresie aritmetic? cu proprietatea c? sunt, de asemenea, termeni ai acestei progresii. S? se arate c? to?i termenii progresiei sunt numere întregi. Eu m-am gîndit a?a: Fie ra?ia progresiei. Atunci În plus, cum ?i p?tratele acestor termeni sînt în aceea?i progresie, înseamn? c? diferen?ele lor trebuie s? fie de cîteva ra?ii, adic?: Din acestea dou? ob?inem c? ra?ia este un num?r întreg ?i, astfel, to?i termenii. EDIT: Care este sursa problemei, c? pare aproape standard? Mul?umesc.

O fi aproape standard, dar

?i nu

Corect acolo da a1+a2. Am scris repede, urma un examen peste o ora si ceva. Acum am terminat examenul si am vazut ce-am scris...

Retrag 'solutia', astept nota de la examen si in tren inapoi spre casa am sa incerc sa corectez.

Scuze, cred ca retrag si afirmatia ca problema e 'aproape standard'

[Citat] Corect acolo da a1+a2. Am scris repede, urma un examen peste o ora si ceva. Acum am terminat examenul si am vazut ce-am scris... Retrag 'solutia', astept nota de la examen si in tren inapoi spre casa am sa incerc sa corectez. Scuze, cred ca retrag si afirmatia ca problema e 'aproape standard'

Ma dau batut, cel putin pe ziua de azi. Am umplut citeva foi, am niste idei, dar n-a reusit sa finalizez. Daca primesc un indiciu sau chiar solutia, nu ma supar.

O seara placuta!

Fie

ra?ia progresiei.

Exist?

, astfel încât :

Avem :

(1)

(2)

(3 )

Dar :

( 1`)
...
...


k, m, t intregi (naturale), atunci, apare concluzia

Am sperat s? nu fie nevoie s? scriu solu?ia aceasta neelegant?, dar fie:

Cum

,

avem c?

?i dac? rescriem termenii avem:

Deci:

?i

. În care ra?ia ?i termenii ?irului luate fiecare separat între acolade reprezint? partea frac?ionar? a acelei cantit??i.

Vom analiza cele opt cazuri:

I

. N-avem nicio contradic?ie aici. Deci progresia aritmetic? având primul termen ?i ra?ia numere întregi verific? ipoteza.

II.

dar

. Contradic?ie cu deducerile de mai sus.

III.

dar

. Contradic?ie cu ipoteza.

IV.

dar

. Contradic?ie cu deducerile de mai sus.

V.

dar

. Contradic?ie cu deducerile de mai sus.

VI.

dar

. Contradic?ie cu ipoteza.

VII.

dar

. Contradic?ie cu deducerile de mai sus.

VIII.

dar

. Contradic?ie cu ipoteza.

Deci doar o progresie de numere întregi verific? ipoteza.


În încercarea de a g?si o solu?ie mai frumoas? am g?sit câteva propriet??i ale acestei progresii:

- singura progresie cu ra?ie negativ? este cea având primul termen 1 ?i ra?ia (-1). Dac? primul termen ar fi mai mare decât 1, p?tratul lui ar fi strict mai mare decât primul termen, deci în afara progresiei. Dac? ra?ia ar fi mai mic? decât (-1) ob?inem c? cel pu?in unul dintre p?tratele primilor trei termeni este mai mare decât primul termen al progresiei (care e 1).

- în afar? de cazul de mai sus progresiile care verific? ipoteza dat? au ra?ia num?r natural. Primului termen nu i-am g?sit nicio restric?ie.

Ne spune?i, v? rog, ?i sursa problemei?

C.A.

Sursa, din pacate, e folclor. Nu-mi mai amintesc de unde e problema.

Se vede un pic ciudat, dar am citit printre rânduri (la propriu) ?i am priceput.

Frumoas? rezolvare.

[Citat] Se vede un pic ciudat

Da, uneori trebuie sa dai refresh paginii, nu stiu de ce.